查看完整版本 : 幫忙求証物理問題?

judo123 2012-8-30 17:59

各位物理達人,能否幫忙解決下列題目?
試証某物理系統A對 Generator  G 有symmetry 特性 ,G必與A的 Hamiltonian H 有commutation relation
G及H 是 Hermitian operator

jmlo 2012-8-31 01:45

The following site may give you some idea how this question can be solved. (In particular the section on "Applications to Quantum Mechanics".)

[url]http://mysite.du.edu/~jcalvert/phys/groups.htm[/url]

mathfeel 2012-9-1 06:34

Think about:
What does it mean for A to have certain symmetry generated by G? In term of eigenket and eigenenergy degeneracy?
If a unitary operator commutes with the Hamiltonian, what about its generator?
It's quite basic QM.

judo123 2012-9-3 09:18

多謝提供資料.
我的証明思路是:
先設定下列條件:
1. 某物理量G = <Ĝ> = ∫ Ψ*ĜΨ dx
2. Ψ是A 的 state of a function
3. 因 物理系統A對 Generator  G 有symmetry 特性 ,所以 G= conserved, 則 dG/dt =0
結果: dG/dt =d <Ĝ>/dt =∫{( dΨ*/dt)ĜΨ+Ψ*(dĜ/dt)Ψ +Ψ*Ĝ(dΨ/dt)dx
但怎樣令 [ Ĝ,Ĥ]=0 ,就沒有思路?
Ĝ,Ĥ 及dΨ/dt 的關聯是怎樣? 思路?

jmlo 2012-9-3 13:20

As mathfeel said, you should start by thinking about the effect of the generator G on the state function of the system A. There are some special properties of the state function (recall the hints given by mathfeel in post #2) if the system is invariant under the symmetry operation dictated by the operator G (I hope my terminologies are right, mathfeel?). Using those properties, you can show that the operators G and H must commute and G is a hermitian operator.

A reference which has some examples useful to you.
Greiner and Muller, "Quantum Mechanics - Symmetries", 2nd edition, Chapter 1.

mathfeel 2012-9-3 16:52

[quote]原帖由 [i]judo123[/i] 於 2012-9-2 17:18 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=341098652&ptid=20685204][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
但怎樣令 [ Ĝ,Ĥ]=0 ,就沒有思路?
Ĝ,Ĥ 及dΨ/dt 的關聯是怎樣? 思路? [/quote]
Think in term of the Heisenberg picture. What is the relationship between dG/dt and [G, H]?

judo123 2012-9-4 10:15

如果使用 Heisenberg picture :
ih(∂G/∂t)=[G,H],
(∂G/∂t)=0 (G= conserved),
則 [G,H]=0 , 若這樣証明便很容易.但感覺上改變原題目原意.因 Heisenberg picture 的建立是由 unitary transformation 得出.我個人希望從 Basic Postulates of QM 的觀念出發証明題目( 當然,Heisenberg picture 的証明亦由 Basic Postulates of QM 的觀念出發,很多QM textbook 亦有証明.我的正確意思是想從 Basic Postulates of QM 的觀念的另外一個角度看問題,使自己更深刻了解Generator 的觀念,對QM 有更深層的體會. 但無論如何,感謝各位物理達人提供解題思路及參考!)

mathfeel 2012-9-4 14:18

首先不知道你為甚麼覺得Heisenberg equation of motion不基本。既然Schrodinger equation也是Postulate之一,而兩個繪景是等價,HEOM是可以用來代替SE當做一條Postulate。(Heisenberg picture比較接近古典力學所以從correspondence principle角度上它比Schrodinger Picture優勝。)

不過回到原題。Symmetry Generator基本嘅用處係 infinitesimal 嘅對稱動作可以被寫成:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?1-i%5Cepsilon%20G+O%28%5Cepsilon%5E2%29[/img]
把任何有限大的對稱動作分成n個小動作、然后取n到無限大嘅極限,你就取到代表這個動作嘅Unitary Operator:
[img]http://latex.codecogs.com/png.latex?U%3De%5E%7B-iG%5Ccdot%20x%7D[/img]
說一個系統有某對稱只是說系統嘅H在對稱作用下不變:[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?U%20H%20U%5E%7B-1%7D%20%3D%20H[/img]或着說U和H commute:[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5BU%2CH%5D%3D0[/img]
然後從U嘅定義試證G和H也commute。

ASPC 2012-9-5 11:11

可唔可以講清楚你嘅問題?
某物理系統A對 Generator  G 有symmetry 特性?真係唔多明? 你嘅意係唔係 If the interactions are invariant to the symmerty operations generated by G, prove that  [H,G]=0    (而interactions 存在某物理系統A)

judo123 2012-9-5 18:52

物理系統A對 Generator  Ĝ 有symmetry 特性的意思是: U是一個transformation,及U=U(G) ,  當A 對U 對稱 或 稱 A 對 U  transformation invariance,表示A有U的 Genertor Ĝ 及對稱. 在這情況下, Ĝ必與A 的Hamiltonian Ĥ 對易,且Ĝ 所代表的物理量G是conservative quantity. 現在便是要証明 Ĝ必與A 的Hamiltonian Ĥ 對易這句說話. ( [Ĝ ,Ĥ]=0 )

ASPC 2012-9-6 09:50

你嘅意原來係, If the interactions are invariant to the symmerty operations generated by G, prove that  [H,G]=0    (而interactions 存在某物理系統A)
嘅然咁樣証明不難.不過你用以下嘅証明方式就有點好笑.
如果使用 Heisenberg picture :
ih(∂G/∂t)=[G,H],
(∂G/∂t)=0 (G= conserved),
則 [G,H]=0 ,
以上條 eq 通俗來講, 當H 不包含t, G 喺Heisenberg picture 嘅operator Ĝ ( ∂ /∂t ) =0,則G稱之謂conservative quantity. 由eq 知道, G是conservative quantity嘅條件喺  [G,H]=0,所以H 也是 conservative quantity.

ih(∂G/∂t)=[G,H], Textbook會問呢條eq嘅証明方法,証明後再得出甚麽結論(結論就係G是conservative quantity嘅條件喺  [G,H]=0) 你冇可能用結論來証明結論,條題目問因G=conserved,証明[G,H]=0,
講翻條証明題
我用嘅係 屎丁假方糖式 (講笑啫!),係用 SchrÖdinger representation
物理量G = <Ĝ> = ∫ Ψ*ĜΨ dx  (expectation value)  
Ψ是A 的 state of a function (wave function postulates)
symmerty operations generated by G ,所以 G= conserved, 則 dG/dt =0 (條題嘅意思)
dG/dt =d <Ĝ>/dt =∫{( dΨ*/dt)ĜΨ+Ψ*(dĜ/dt)Ψ +Ψ*Ĝ(dΨ/dt)dx
ih(∂Ψ/∂t)=ĤΨ or -ih(∂Ψ*/∂t)=Ψ*Ĥ+
dG/dt =i/h∫{(ĤΨ)*ĜΨ-Ψ*Ĝ(ĤΨ)}dx     把dΨ/dt and dΨ*/dt 攪定!!
dG/dt=i/h∫{Ψ*(ĤĜ-ĜĤ)Ψ}dx    (ĤĜ-ĜĤ)得出呢個關係,以後點做,你識卦!!!

judo123 2012-9-7 10:34

Thanks!

lightspeed2020 2022-2-10 08:40

[quote]原帖由 [i]ASPC[/i] 於 2012-9-6 09:50 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=341399335&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
你嘅意原來係, If the interactions are invariant to the symmerty operations generated by G, prove that  [H,G]=0    (而interactions 存在某物理系統A)
嘅然咁樣証明不難.不過你用以下嘅証明方式就有點好笑.
如果使用 Heisenberg picture :
ih(∂G/∂t)=[ ... [/quote]
啱啱學完微積分,但完全睇唔明;可以解釋下嗎? :smile_41:

rhwlam 2022-4-9 09:19

雖然這是很多年前的帖,這是個很好且基本的問題。
推一下。
如果自問懂得量子物理學,應該會解這問題。雖說解法已被之前回覆說明了,重溫一下也不錯。

topochu 2022-4-10 12:40

[url]https://www.damtp.cam.ac.uk/user/dbs26/PQM/chap4.pdf[/url]


睇4.5.1嘅部份

rhwlam 2022-4-18 13:35

我自己也可以推出結論,但是沒有用上∂G/∂t這個項。老實說,我也不清楚∂G/∂t(time derivative of a hermitian functional operator)確實是甚麼。不知道這裡有沒有高人可以分享交流一下。

topochu 2022-4-18 16:46

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2022-4-18 13:35 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547684256&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我自己也可以推出結論,但是沒有用上∂G/∂t這個項。老實說,我也不清楚∂G/∂t(time derivative of a hermitian functional operator)確實是甚麼。不知道這裡有沒有高人可以分享交流一下。 [/quote]
非高人。呢個係個証明。

[attach]13217263[/attach]

topochu 2022-4-18 17:35

而#4, #11講緊嘅係另一樣嘢,同#1要証明嘅嘢無太大關系。純粹係如果 [G,H] = 0,會得出dG/dt = 0嘅結論。雖然無咩關係,不過都可以睇下。


[attach]13217320[/attach]

topochu 2022-4-18 17:52

Redundant

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2022-4-18 21:12 編輯 [/i]]

topochu 2022-4-18 17:54

至於(全)導數嘅法則,可以(1)就咁當係數學咁做,只係連鎖法則又或者(2)睇吓佢嘅物理意義,可以睇下呢段YouTube嘅片([url=https://youtu.be/p7qFS9umcx8]https://youtu.be/p7qFS9umcx8[/url]),個人覺得用流體力學做背景去理解係最直觀。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2022-4-18 21:13 編輯 [/i]]

rhwlam 2022-4-18 19:36

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2022-4-18 17:52 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547690724&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
至於(全)導數嘅法則,可以(1)就咁當係數學咁做,只係連鎖法則又或者(2)睇吓佢嘅物理意義,可以睇下呢段YouTube嘅片(https://youtu.be/p7qFS9umcx8)),個人覺得用流體力學做背景去理解係最直觀。 [/quote]
謝謝賜教. 以下是我的想法. 不知對不對...

(當中存在問題. 為免誤導, 已刪除.)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2022-4-19 07:47 編輯 [/i]]

rhwlam 2022-4-18 19:49

老是打錯字, 希望現在可以了...

topochu 2022-4-18 21:25

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2022-4-18 19:36 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547694074&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝賜教. 以下是我的想法. 不知對不對...

13217681 [/quote]
「因為G係symmetry operation嘅generator,所以dG/dt=0」係一個結果而唔係前提,所以第一步有問題。同埋透過Heisenberg equation of motion,下一步已經可以得出[H,G]=0。同埋點解第二步會假設∂G/∂t。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2022-4-18 21:32 編輯 [/i]]

rhwlam 2022-4-18 22:21

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2022-4-18 21:25 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547697775&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

「因為G係symmetry operation嘅generator,所以dG/dt=0」係一個結果而唔係前提,所以第一步有問題。同埋透過Heisenberg equation of motion,下一步已經可以得出[H,G]=0。同埋點解第二步會假設∂G/∂t。 [/quote]
——

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2022-4-18 22:49 編輯 [/i]]

topochu 2022-4-18 22:53

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2022-4-18 22:21 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547699845&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

dG/dt是基於noether’s theorem. [/quote]
Noether (first) theorem只係話每一個generator of a continuous symmetry都會有一個對應嘅conserved quantity。好似今次個case, generator G會對應一個conserved quantity Q(通常都唔係G,比如話U(1) gauge symmetry個對應嘅conserved charge就[i]可以[/i]係electrical charge),而呢個Q係可以再用variation of Lagrangian推導出嚟。
而唔係因為generator G對應住一個symmetry,所以Q就係嗰個conserved quantity。

個conserved quantity可以用[url=https://www.weizmann.ac.il/particle/perez/Courses/QMII19/Noether_theorem.pdf][color=#0000ff]呢個pdf[/color][/url]嘅方法搵出嚟,睇第二頁第一部份Derivation 1。佢做緊嘅ϕ係一個continuous quantum field,不過就咁嘅wavefunction都係類似咁做。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2022-4-18 23:18 編輯 [/i]]

topochu 2022-4-18 23:11

你嘅推導當中有唔正確嘅地方(用Schrödinger equation嘅hermitian conjugate時少咗個負號),所以先會出現到後面你一路諗點樣出到結果。其實都係我喺#18做緊嘅嘢(唔關題目事,純粹係題外話)。可以俾你睇睇如果做返啱正負號嘅話,會係點樣:
[attach]13218318[/attach]

rhwlam 2022-4-19 05:42

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2022-4-18 22:53 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547700934&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Noether (first) theorem只係話每一個generator of a continuous symmetry都會有一個對應嘅conserved quantity。好似今次個case, generator G會對應一個conserved quantity Q(通常都唔係G,比如話U(1) gauge symmetry個對應嘅conserved charge就可以係electri ... [/quote]
謝謝賜教!我會花點時間好好學習一下寫的內容。

topochu 2022-4-19 07:51

或者可以先睇classical mechanics嘅版本。

topochu 2022-4-20 16:44

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2022-4-18 22:21 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547699845&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

—— [/quote]
對 #17 的証明稍作補充,講返喺量子物理入面何謂對稱。啲算符都加返晒啲hat上去,同埋用返一般嘅表示方式(積分)。

[attach]13222557[/attach]

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2022-4-20 16:46 編輯 [/i]]

rhwlam 2022-4-20 21:56

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2022-4-20 16:44 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=547750606&ptid=20685204][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

對 #17 的証明稍作補充,講返喺量子物理入面何謂對稱。啲算符都加返晒啲hat上去,同埋用返一般嘅表示方式(積分)。

13222557 [/quote]
這個我另外找資料看懂了。謝謝補充!
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