查看完整版本 : 不等式

lamhenschel 2014-11-9 09:31 PM

不等式

證明下不等式
1.n!<((n+1)/2)^n (n>1).
3.1/2·3/4···(2n-1)/(2n)<1/√(2n+1).
4.1+1/√2 +1/√3 +…+1/√n > √n (n>=2).
5.n^(n+1) > (n+1)^n (n>=3).
6.(2n)!<2^(2n) (n!)^2



[url=http://m.discuss.com.hk][img=100,23]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img][/url]

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-9 11:21 PM 編輯 [/i]]

edok 2014-11-9 10:44 PM

some questions can prove by mi , so what is your problem

[[i] 本帖最後由 edok 於 2014-11-9 10:53 PM 編輯 [/i]]

edok 2014-11-10 12:37 AM

1
AM ≧ GM  or MI

3
1/2 < 2/3 , 3/4 < 4/5 , .... , (2n - 1)/(2n) < 2n/(2n + 1)

(1/2) * ... * (2n - 1)/(2n) < (2/3) * ... * 2n/(2n + 1)

[(1/2) * ... * (2n - 1)/(2n)]^2 < (2/3) * ... * 2n/(2n + 1) * (1/2) * ... * (2n - 1)/(2n)

.....

4
using MI

or
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bk%7D%7D%20%26%5Cge%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bk%7D%20+%20%5Csqrt%7Bk-1%7D%7D%20%5C%5C%26%3D%5Csqrt%7Bn%7D%5Cend%7Balign*%7D[/img]


5

consider , n > e > (1 + 1/n)^n for n > 2

or using MI

6
(2n)! = [1*3*...*(2n - 1)](2*4*...*2n)

2^(2n)*(n!)^2 = (2*4*...*2n)^2

then, 2*4*...*2n > 1*3*...*(2n - 1)

therefore , 2^(2n)*(n!)^2 > (2n)!

填不盡 2014-11-10 01:29 AM

*** 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽 ***

edok 2014-11-10 07:39 AM

[quote]原帖由 [i]填不盡[/i] 於 2014-11-10 01:29 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402117842&ptid=24007841][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
嘩,你又試抄幾條問題上來攞答案?自己試下做先啦。你清楚指出邊度你唔明,大家先至幫到你。如果你個底真係差到連第一步都行唔出,咁即使寫晒個答案畀你,你都未必睇得明架啦。 [/quote]
i agree with you:handshake

eaglle 2014-11-10 02:09 PM

回覆 3# 的帖子

(5) 也許不能用e > (1 + 1/n)^n, 因為這個不等式本身就是要建立  (1 + 1/n)^n 的單調性, 以証明它的極限e是存在的

又, AM 是 algebraic mean, GM是geometric mean , 對吧?
但MI是什麼呢?

eaglle 2014-11-10 04:27 PM

回覆 3# 的帖子

(5) 應該算有一點難度

我想起來了, MI就是我心裡一直想著的數學歸納法 (mathematical induction)
既然這樣, 我就用MI試試看(5)

[url=http://www.fotopu.com/image/709252][img]http://www.fotopu.com/img/1/709252-3.png[/img][/url]

[[i] 本帖最後由 eaglle 於 2014-11-11 06:30 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-10 08:23 PM

我自己做(1),寫到2((k+1)/2)^(k+1) 就停,不懂把它小過((k+2)/2)^(k+1)
(3) 我用MI 做,知道(k)^(1/2) + 1/(k+1)^2 > (k+1) ^(1/2)這條不等式我先把左右兩邊乘以(k+1)^(1/2), -1 ,然後平方, 得出k^2+k > k ^2 (k>=2), 但不懂如何直接L.H.S > R.H.S , 只懂L.H.S 和 R.H.S. 進行運算,然後得出L.H.S>R.H.S. 像(5)的做法。

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-10 08:29 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-10 08:38 PM

4
為什麼 ∑(k=1)^n (1/((k)^(1/2)+(k+1)^(1/2))) = n^(1/2) ?

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-10 08:50 PM 編輯 [/i]]

edok 2014-11-10 10:41 PM

[quote]原帖由 [i]eaglle[/i] 於 2014-11-10 04:27 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402157238&ptid=24007841][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
(5) 應該算有一點難度

我想起來了, MI就是我心裡一直想著的數學歸納法 (mathematical induction)
既然這樣, 我就用MI試試看(5)

[img]http://www.fotopu.com/img/1/709252-3.png[/img] [/quote]



here is another way to show that the inequality

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C%5C%24Prove%20%3A%20%243%3E%5Cleft%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Cright%20%29%5En%3E2%5C%3B%2C%5C%3B%5Cforall%20n%5Cge3%5C%5C%5C%5C%20%24The%20RHS%20can%20be%20observed%20by%20using%20Bernoulli%27s%20inequality.%24%5C%5C%5C%5C%20%24Now%20we%20prove%20LHS%20by%20using%20Binomial%20theorem.%24%5C%5C%5C%5C%20%24Considering%20the%20general%20term%20of%20%24%5Cleft%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Cright%20%29%5En%5C%5C%5C%5C%20%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dn%5E%7B-k%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%21%7D%5Cfrac%7Bn%28n-1%29...%28n-k+1%29%7D%7Bn%5Ek%7D%26%3C%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%21%7D%5C%5C%5CRightarrow%20%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7Dn%5E%7B-k%7D%26%3C%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%21%7D%5C%5C%26%3D2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%281+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Ctimes%204%7D+...+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Ctimes4%5Ctimes...%5Ctimes%20n%7D%29%5C%5C%26%3C2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn-2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5E%7Bk%7D%7D%5C%5C%26%3C2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%281-1/3%29%7D%5C%5C%26%3C3%5Cend%7Balign*%7D%5C%5C%5C%5C%20%24since%20%2C%20%243%3E%5Cleft%281+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%5Cright%20%29%5En%3E2[/img]

edok 2014-11-10 10:53 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-10 08:23 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402171892&ptid=24007841][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我自己做(1),寫到2((k+1)/2)^(k+1) 就停,不懂把它小過((k+2)/2)^(k+1)
(3) 我用MI 做,知道(k)^(1/2) + 1/(k+1)[color=Red]^2[/color] > (k+1) ^(1/2)這條不等式我先把左右兩邊乘以(k+1)^(1/2), [color=Red]-1[/color] ,
然後平方, 得出k^2+k > [color=Red]k ^2[/color] (k>=2), 但不懂如何直接L.H.S > R.H.S , 只懂L.H.S 和 R.H.S. 進行運算,然後得出L.H.S>R.H.S. 像(5)的做法。[/quote]
1. 看不明白你想用什麼方法去做

3. 我看了很久很久很久, 你真的很狗...:smile_42:

原來其實是你 #1 題號 4

總括來說, 你方向是對, 但明顯你中間步驟有不小心, 請你自己去發現吧

另外, 你表達方法, 不能一開始就說

√n + 1/√(n + 1) > √(n + 1)   


總結, 你表達給我們看, 請你認真檢查清楚是否有些什麼重大表達上的錯誤

例如紅字

其實現今科技很發達, 你可以用 upload 圖片

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-10 08:38 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402172859&ptid=24007841][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
4
為什麼 Σ(k=1)^n (1/((k)^(1/2)+(k+1)^(1/2))) = n^(1/2) ? [/quote]

Rationalization

eaglle 2014-11-11 03:05 PM

回覆 10# 的帖子

謝謝E大提供它的上下界, 這也是我想了半天還沒想出來的;

不過, 只有上下界還不夠, 必須知道它是monotone, 我們才能說它converges

但我原來以為原po 的不等式就是為了証明它是monotone, 但好像不對; 証明它單調好像更困難一些----不過這只要查書就有了
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