# 查看完整版本 : 有理數分割

lamhenschel 2014-11-10 09:02 PM

## 有理數分割

A1={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)定義了開方2.
A2={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 8)}, B2 = Q\A2, (A2|B2)定義了開方8.
A3={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 18)}, B3 = Q\A3, (A3|B3)定義了開方18.

And how pi, e, log2 be define using Dedekind cut?

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-10 09:40 PM 編輯 [/i]]

edok 2014-11-10 11:07 PM

You need to intuitively understand that if α and β are real numbers,

and q is a rational number such that q < α + β then there are rational numbers a,b

such that a < α and b < β such that a + b = q.

Use the idea to show that √2 + √8 = √18

and your other questions , you can search by "Google", ie. dedekind cut for e:smile_45:

[7] 2014-11-11 08:09 AM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-10 09:02 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402174299&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
A1={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)定義了開方2.
A2={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 8)}, B2 = Q\A2, (A2|B2)定義了開方8.
A3={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 18)}, B3  ... [/quote]
1.你誤解了少少...A1={x∊Q: x 0 )∧ (x[color=#ff0000]^2 [/color]< 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)才定義了[color=#ff0000]開方2[/color]。其餘類推。
2.由於你口中的B1完全由A1來定義，其實，即分割(A1，B1)是對A1是一一對應的。所以可以只用A1來定義一個實數即可，有：

(a)r is neither ..empty nor Q.
(b)r is closed downward. i.e. for any rational y<x，x in r implies y in r.
(c)r is dedekind incomplele in Q. i.e. r does not contain a greatest element.

3. [color=#ff0000]pls state your work！！！[/color]it is very important as others do not know 你那部分出了問題？

4. 例如第一個問題：

5. 例如：要由定義証明你的問題，我們先要知道實數(subset of Q) r 、s點樣加，定義r+s：={x：x=a+b，where a in r， b in s}
with 這定義，hint 足夠了嗎？不夠...你也要show show 你做到邊度kick住。

7.其他諸如pi、e、2^2^0.5等等，其實唔難作的。其實你問得這類問題，即代表你對dedekind cut的結構想有更深的認識。最好的方法過於你落手落腳作幾個試下你先會明白，作下，check下，唔o岩就調較下搵下邊度有問題，看不到問題才post你作過的working上來問，這樣你才學倒的。

pi={x in Q：(x<=0)v(x>0 and sin x>0)}

[7] 2014-11-11 09:04 AM

## 回覆 1# 的帖子

with
x^2<2 and y^2<8
so with suitable condition，xy<???
and (x+y)^2<???

*** 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽 ***

eaglle 2014-11-11 06:59 PM

[[i] 本帖最後由 eaglle 於 2014-11-12 12:10 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-11 09:58 PM

(x^2<2∧y^2<8)⇒(x^2)(y^2)<16⇒(xy)^2<16⇒xy<4⇒2xy<8
A1+A2
= {x+y|x∊A1∧y∊A2}
={x+y ∊Q|(x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0 ∨ y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|((x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0)) ∨((x<0 ∨ x^2 < 2)∧( y^2 < 8))}
={x+y ∊Q|(x<0∧y<0)∨(x^2 < 2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨(x^2 < 2∧y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨(x^2 < 2∧y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 <8)∨(x^2+y^2<10)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2-2xy<10)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+2xy)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x+y)^2<18)}

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-11 10:55 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-11 10:30 PM

assume pi={x ∊ Q：(x<=0)∨(x>0∧sin x>0)} is a cut
obviously,pi is not empty and pi is not a set of raional numbers.
((x<=0)∨(x>0∧sin x>0))∧x'<x
⇒(x<=0∧x'<x)∨((x>0∧sin x>0)∧x'<x)
⇒(x'<=0)∨(x>0∧sin x>0∧x'<x)
For the second disjunt ∃x'(x'∉pi), such as sin(2π+1)=0.841...>0 and 2π+1>0 but 3π/2<2π+1 and sin(3π/2)=-1<0
thus, pi is not a cut
I am thinking the definition of pi.

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-11 10:43 PM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-11 10:39 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-11 09:58 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402250690&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
(x^2<2∧y^2<8)⇒(x^2)(y^2)<16⇒(xy)^2<16⇒xy<4⇒2xy<8
A1+A2
= {x+y|x∊A1∧y∊A2}
={x+y ∊Q|(x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0 ∨ y^2 < 8)}
......
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+2xy)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x+y)^2<18)} [/quote]

1.(xy)^2<16 implies -4<xy<4。不過這是小問題...因為你下面應用這時的條件不同，(但這可以會扣分的)並不影響証明完整性。

2.這個問題大些，但也不會fatal你個proof...不過係未completed。...why？

r=s (set)

lamhenschel 2014-11-11 10:45 PM

## 回覆 6# 的帖子

There are no professors in school.

[7] 2014-11-11 10:58 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-11 10:30 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402253050&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
assume pi={x ∊ Q：(x0∧sin x>0)} is a cut
obviously,pi is not empty and pi is not a set of raional numbers.
((x0∧sin x>0))∧x'0 but 3π/2 [/quote]
oh！very good！你get倒小小個idea啦！但係....

1.所以我是但作個個例子是不成的！但...有冇辨法修正呢？如有.....點修正呢？

2.你在我例中看出了一個洞，.....hint：我的例中可是有三個洞呢！修正時可要小心了！

3.其實，你不一定要用我個方向，你也可以自己試下自己的方向去作，好好玩的。

4.哦....冇所謂啦，所謂三人行必有我師。正如上面有c兄話事齋，有professor都未必係好事，因為佢地自己叻，但未必識教。反而你自己意志才是最重要的！你看到你自已興趣所在，楔而不捨咁追洛去，一定有同路人的。

5.反而，當你遇上同路人時(我不說是師啦，你問我答，我都有得著的，這才是三人行必有師的真正意義)，你present問題時，一定要說出你的working，不然別人很難follow的，沒頭沒尾 的空討論，這對雙方都無益，總的來說要有focus囉！

lamhenschel 2014-11-11 11:29 PM

[url=http://m.discuss.com.hk][img=100,23]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img][/url]

lamhenschel 2014-11-12 12:11 AM

[url=http://m.discuss.com.hk][img=100,23]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img][/url]

[7] 2014-11-12 12:22 AM

## 回覆 12# 的帖子

[[i] 本帖最後由 [7] 於 2014-11-12 12:26 AM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-12 12:31 AM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-12 12:11 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402260405&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

[img]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img] [/quote]作用不同。

eaglle 2014-11-12 11:24 AM

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2z}{3})^{2}=\frac{4z^{2}}{9}<8[/img]

(以上証明過程中, 都假設x,y,z為正; 負的情況很容易處理, 而且也不是重點, 所以省略了)

「學說話」並不等於學數學; 數學主要是為了解決實際問題, 並不止是把話說清楚而已。

[[i] 本帖最後由 eaglle 於 2014-11-12 12:09 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-12 06:36 PM

pi={x ∊ Q:x<=0∨(4>x>0 ∧ sin x>0)}

2^(2^(1/2))={a ∊ Q : a<=0 ∨ log[2,a] < 0 ∨ (log[2,a])^2<2}. Is it correct?

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-12 07:44 PM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-12 07:18 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-12 06:36 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402308997&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
pi={x ∊ Q:(xx>0 ∧ sin x>0)}

2^(2^(1/2))={a ∊ Q : a [/quote]
yes  Bingo 你的修正不錯。方向正確了，但可惜這還不是正確答案，呵呵，記得我說有三個trap嘛...？還有兩個要修正呢...
Hint:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Do }\sin x:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}\text{ and}}\log x:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}\text{ a well defined function?}[/img]

[[i] 本帖最後由 [7] 於 2014-11-12 08:53 PM 編輯 [/i]]