查看完整版本 : 有理數分割

lamhenschel 2014-11-10 09:02 PM

有理數分割

A1={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)定義了開方2.
A2={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 8)}, B2 = Q\A2, (A2|B2)定義了開方8.
A3={x∊Q: x<=0 ∨ ((x > 0 )∧ (x^(1/2) < 18)}, B3 = Q\A3, (A3|B3)定義了開方18.
但怎樣證明開方2 +開方8 = 開方18.難道 開方2 +開方8 = 開方2 +2 *開方2 = 3* 開方 2 = 開方18 這樣簡單嗎?
乘又怎樣呢?如何定義 2^(2^(1/2)), the power is irrational, it is diffucult to define.
And how pi, e, log2 be define using Dedekind cut?

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-10 09:40 PM 編輯 [/i]]

edok 2014-11-10 11:07 PM

You need to intuitively understand that if α and β are real numbers,

and q is a rational number such that q < α + β then there are rational numbers a,b

such that a < α and b < β such that a + b = q.


Use the idea to show that √2 + √8 = √18

and your other questions , you can search by "Google", ie. dedekind cut for e:smile_45:

[7] 2014-11-11 08:09 AM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-10 09:02 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402174299&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
A1={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)定義了開方2.
A2={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 8)}, B2 = Q\A2, (A2|B2)定義了開方8.
A3={x∊Q: x 0 )∧ (x^(1/2) < 18)}, B3  ... [/quote]
1.你誤解了少少...A1={x∊Q: x 0 )∧ (x[color=#ff0000]^2 [/color]< 2)}, B1 = Q\A1, (A1|B1)才定義了[color=#ff0000]開方2[/color]。其餘類推。
2.由於你口中的B1完全由A1來定義,其實,即分割(A1,B1)是對A1是一一對應的。所以可以只用A1來定義一個實數即可,有:
每一個實數r可以定義為有理數中滿足以下條件的子集:
(a)r is neither ..empty nor Q.
(b)r is closed downward. i.e. for any rational y<x,x in r implies y in r.
(c)r is dedekind incomplele in Q. i.e. r does not contain a greatest element.
例:開方2:=A1 (更正後的A1)

3. [color=#ff0000]pls state your work!!![/color]it is very important as others do not know 你那部分出了問題?

4. 例如第一個問題:
怎樣證明開方2 +開方8 = 開方18.難道 開方2 +開方8 = 開方2 +2 *開方2 = 3* 開方 2 = 開方18 這樣簡單嗎?第一,當然可以這樣簡單啦。
第二,你咁問得,我差想你是想問如何由定義出發証明?
第三,如果第二估得不錯,那[color=#ff0000]你先要說說你由定義出發,遇到了甚麼問題?[/color]如果你第一步都踏不出,我想你可能只看了一部分,還未了解.....以dedekind方法去定義實數,除了定義那個分割外(或簡化定義為個subset),還要定義+x/<等等關係才成。

5. 例如:要由定義証明你的問題,我們先要知道實數(subset of Q) r 、s點樣加,定義r+s:={x:x=a+b,where a in r, b in s}
with 這定義,hint 足夠了嗎?不夠...你也要show show 你做到邊度kick住。

6.乘的定義...呵呵,不難吧,有上面的hint,你試作一個,show show your work,pls。

7.其他諸如pi、e、2^2^0.5等等,其實唔難作的。其實你問得這類問題,即代表你對dedekind cut的結構想有更深的認識。最好的方法過於你落手落腳作幾個試下你先會明白,作下,check下,唔o岩就調較下搵下邊度有問題,看不到問題才post你作過的working上來問,這樣你才學倒的。
例如,你問pi,咁我是但作個pi的定義畀你,你check下o岩唔o岩,[color=#ff0000]o岩你問下當中的橋妙在哪?唔o岩你要想想哪裡可以改進呢?[/color]
pi={x in Q:(x<=0)v(x>0 and sin x>0)}


希望見倒你的工作再討論,符號沒typeset了,請諒。

[7] 2014-11-11 09:04 AM

回覆 1# 的帖子

我再給你多一個hint吧,其實這是很明顯的...
with
x^2<2 and y^2<8
so with suitable condition,xy<???
and (x+y)^2<???

填不盡 2014-11-11 10:42 AM

*** 作者被禁止或刪除 內容自動屏蔽 ***

eaglle 2014-11-11 06:59 PM

樓上幾位講得都很對, 你可能還沒有掌握到 D. cut 的意思;
但這並沒有什麼奇怪, 這麼抽象的概念, 本來就不是一下子就可以明白的, 特別是, 如果教授不太願意講解概念和哲學, 而只集中在邏輯的推導 (我遇過很多這種教授), 那情況就會更糟....

我試著做一點說明, 若果是多餘的, 你就略過不要看:

首先, 我們的困境是, 到底有沒有一個「數」(辜且不論是實數或什麼數) 滿足「自乘等於2」這個條件; 這是從亞里斯多德時代就困擾「哲學家」的問題。

後來我們已經知道 (可以証明), 有理數是不可能的, 所以, 必須「發明」新的數----在這個情況下, 「根號2」三個字是不能說出口的, 因為我們還不知道有沒有這個東西; 那怎麼辦呢?

數學家(例如Dedekind) 用了一個「頼皮」的方法: 用能說出來的東西, 取代想說又說不出來的東西, 不管看起來多麼荒謬

所以, 他們把「平方等於2」的數, 「定義」為

[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?A_1[/img] = {x|所有「平方小於2」或「負」的有理數}

說這是荒謬的, 是因為這是一個集合, 根本不是一個數; 但是, 如果這個集合, 以及類似的集合們, 可以「表現」地像「數」一樣, 也就是可以相互做四則運算, 而算的結果, 又正如我們所希望的, 例如你這個題目所要証明的, 就是這個意思: 你看, 我把「實數」定義為集合, 也可以得到: 「平方等於2的數」+「平方等於8的數」=「平方等於18的數」

這個題目的意義就在, 如果我們可以合法地, 嚴謹地証明了上式, 這就「証明」了 Dedekind 把數定義為集合的做法, 是可行的。

其實, 這是一個自圓其說的邏輯遊戲, 如果心裡沒有哲學, 沒有直覺做技撐, 沒有人會懂得這到底是在幹麼。

那麼, [img]http://latex.codecogs.com/gif.download?A_1 + A_2[/img] 到底怎麼算呢?

其實, 最簡單不過的算法, 無非就是拿兩個集合中的元素來相加, 把相加的結果收集起來, 當然還是一個集合; 那麼, 這個集合會恰好是[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?A_3[/img]呢?

讓我們假設x,y分別是A1和A2的元素, 那麼, x+y 的平方會小於18 (會屬於A3)嗎?

[img]http://latex.codecogs.com/gif.download?(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy <2+8+2xy[/img]

換言之, 2xy會小於8嗎?

剩下的部份, 先請你自己認著想想看; 如果有什麼問題就提出來, 不要客氣;
我們都希望你自己想一想, 但我們也很願意回答你的問題, 這是不衝突的, 所以請不要氣餒, 你願意在版上提問, 就表示很認真努力在學習了;

剩下的部份, 我還是會把它寫完的; 只是現在有事必須離開一下, 請不要介意
後續見#16

[[i] 本帖最後由 eaglle 於 2014-11-12 12:10 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-11 09:58 PM

(x^2<2∧y^2<8)⇒(x^2)(y^2)<16⇒(xy)^2<16⇒xy<4⇒2xy<8
A1+A2
= {x+y|x∊A1∧y∊A2}
={x+y ∊Q|(x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0 ∨ y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|((x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0)) ∨((x<0 ∨ x^2 < 2)∧( y^2 < 8))}
={x+y ∊Q|(x<0∧y<0)∨(x^2 < 2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨(x^2 < 2∧y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨(x^2 < 2∧y^2 < 8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 <8)∨(x^2+y^2<10)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2-2xy<10)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<2∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+2xy)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x+y)^2<18)}

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-11 10:55 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-11 10:30 PM

assume pi={x ∊ Q:(x<=0)∨(x>0∧sin x>0)} is a cut
obviously,pi is not empty and pi is not a set of raional numbers.
((x<=0)∨(x>0∧sin x>0))∧x'<x
⇒(x<=0∧x'<x)∨((x>0∧sin x>0)∧x'<x)
⇒(x'<=0)∨(x>0∧sin x>0∧x'<x)
For the second disjunt ∃x'(x'∉pi), such as sin(2π+1)=0.841...>0 and 2π+1>0 but 3π/2<2π+1 and sin(3π/2)=-1<0
thus, pi is not a cut
I am thinking the definition of pi.

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-11 10:43 PM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-11 10:39 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-11 09:58 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402250690&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
(x^2<2∧y^2<8)⇒(x^2)(y^2)<16⇒(xy)^2<16⇒xy<4⇒2xy<8
A1+A2
= {x+y|x∊A1∧y∊A2}
={x+y ∊Q|(x<0 ∨ x^2 < 2)∧(y<0 ∨ y^2 < 8)}
......
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+2xy)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x^2<∧y<0)∨(x<0∧y^2 < 8)∨((x+y)^2<10+8)}
={x+y ∊Q|(x+y<0)∨(x+y)^2<18)} [/quote]
可以啊,就是這個idea....不過有一個小問題和一個中問題...

1.(xy)^2<16 implies -4<xy<4。不過這是小問題...因為你下面應用這時的條件不同,(但這可以會扣分的)並不影響証明完整性。

2.這個問題大些,但也不會fatal你個proof...不過係未completed。...why?
請注意,在DC中,實數被表成有理數的一些特殊子集,那麼要formal地証明(考試)兩個實數相同,你需要:
r=s (set)
即要証兩事:r為s子集 and s為r子集
你的proof formally只係講緊 方2+方8為方18的子集(why?)
不過另一個方向,只係差小小arguement姐,並不影響你整體的,你就想想,補補洞吧!


祝努力!

lamhenschel 2014-11-11 10:45 PM

回覆 6# 的帖子

There are no professors in school.

[7] 2014-11-11 10:58 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-11 10:30 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402253050&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
assume pi={x ∊ Q:(x0∧sin x>0)} is a cut
obviously,pi is not empty and pi is not a set of raional numbers.
((x0∧sin x>0))∧x'0 but 3π/2 [/quote]
oh!very good!你get倒小小個idea啦!但係....

1.所以我是但作個個例子是不成的!但...有冇辨法修正呢?如有.....點修正呢?

2.你在我例中看出了一個洞,.....hint:我的例中可是有三個洞呢!修正時可要小心了!

3.其實,你不一定要用我個方向,你也可以自己試下自己的方向去作,好好玩的。

4.哦....冇所謂啦,所謂三人行必有我師。正如上面有c兄話事齋,有professor都未必係好事,因為佢地自己叻,但未必識教。反而你自己意志才是最重要的!你看到你自已興趣所在,楔而不捨咁追洛去,一定有同路人的。

5.反而,當你遇上同路人時(我不說是師啦,你問我答,我都有得著的,這才是三人行必有師的真正意義),你present問題時,一定要說出你的working,不然別人很難follow的,沒頭沒尾 的空討論,這對雙方都無益,總的來說要有focus囉!

lamhenschel 2014-11-11 11:29 PM

既然冇實數自乘係-1,有冇類似dedekind cut去定義虛數和複數。



[url=http://m.discuss.com.hk][img=100,23]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img][/url]

lamhenschel 2014-11-12 12:11 AM

我覺得冇dedekind cut定義複數,因為複數比唔到大細。點解N,Z,Q,R可以比大細,C就唔得。其實D cut 係唔係定義唔到複數?



[url=http://m.discuss.com.hk][img=100,23]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img][/url]

[7] 2014-11-12 12:22 AM

回覆 12# 的帖子

我想沒有。
因為DC的作用係complete Q。Q not complete,i.e.not all bounded above subset get a least upper bound in Q。DC的作用就是extend Q to R作為Q的complete版。
但R和C本身不是這樣的關係。R本身已經完備(作為一有序域來說)。最重要的是C本身(in usual sense)並非一有序域。

[[i] 本帖最後由 [7] 於 2014-11-12 12:26 AM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-12 12:31 AM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-12 12:11 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402260405&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我覺得冇dedekind cut定義複數,因為複數比唔到大細。點解N,Z,Q,R可以比大細,C就唔得。其實D cut 係唔係定義唔到複數?



[img]http://n2.hk/d/images/r10/mobile.jpg[/img] [/quote]作用不同。

eaglle 2014-11-12 11:24 AM

現在繼續之前#6沒寫完的証明, 可以供你對照自己的做法:

之前我們說到, 從[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_1,&space;A_2[/img]中各別任選x,y (先假設都為正), 因為[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^{2}<2, y^{2}<8[/img], [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x+y)^{2}<2+8+2xy[/img], 我們想知道: 2xy<8對不對?

現在就來處理2xy的問題:

如果2x<y, 那麼, 2xy<yy<8;
如果2x>=y, 那麼, 2xy<=2x2x=4xx<8

所以, [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x+y)^{2}<18[/img]真的成立; 所以 x+y 真的在A3之中;
這樣, 我們便証明了: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_1+A_2\subset A_3[/img]

但事情還沒有結束 (這也是樓上說你的証明不完整的地方), 因為我們還必須証明集合之間另一個方向的 inclusion

這一次, 我們從A3中任選 z (仍然假設為正), 這個z一定可以表現為「某個來自A1的x」和「某個來自A2的y」的和嗎?

因為[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?z=\frac{z}{3}+\frac{2z}{3}[/img], [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?z^{2}<18[/img],

我們自然得到: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{z}{3})^{2}=\frac{z^{2}}{9}<2[/img]
            [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?(\frac{2z}{3})^{2}=\frac{4z^{2}}{9}<8[/img]

所以, 只要令x=z/3, y=2z/3; 這兒的x,y就確實是來自A1,A2的了。
這樣, 我們便証明了: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?A_1+A_2\supset A_3[/img]

把兩段論証合起來, 我們便証明了: A1+A2=A3
(以上証明過程中, 都假設x,y,z為正; 負的情況很容易處理, 而且也不是重點, 所以省略了)

最後, 我們回頭來看, 這些証明是怎麼寫出來的呢?其實說穿了, 我們無非利用了「y是x的2倍」這個關係; 但並不是說 y真的等於2x, 而是: A2中的每個y都可以看做是A1中某個x的2x; A1中的每個x也可以看做是A2中某個y的一半

這些想法的背後, 當然就是你一開始提的問題「難道要用[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{8}=2\sqrt{2}[/img]嗎....」; 我們不能用這個關係式, 因為如前所述, 「根號」還是一個不能說出口的名詞, 但這並不妨礙我們用這個概念!

所以, 從某個角度講, 這些証明只是把我們心裡的想法用「合法」的方式說出來而已; 我個人認為, 學習這些, 等於是「學說話」。
「學說話」並不等於學數學; 數學主要是為了解決實際問題, 並不止是把話說清楚而已。

然而, 把話說清楚, 確實是一種基礎訓練; 這種訓練對於解決實際問題非常重要, 因為說不清楚就想不清楚, 想不清楚說解決不了問題!
以上提供參考, 加油!

[[i] 本帖最後由 eaglle 於 2014-11-12 12:09 PM 編輯 [/i]]

lamhenschel 2014-11-12 06:36 PM

pi={x ∊ Q:x<=0∨(4>x>0 ∧ sin x>0)}
我係畫條number line去睇個cut新問題:構造2^(2^(1/2)) Gelfond-Schneider constant
2^(2^(1/2))={a ∊ Q : a<=0 ∨ log[2,a] < 0 ∨ (log[2,a])^2<2}. Is it correct?

[[i] 本帖最後由 lamhenschel 於 2014-11-12 07:44 PM 編輯 [/i]]

[7] 2014-11-12 07:18 PM

[quote]原帖由 [i]lamhenschel[/i] 於 2014-11-12 06:36 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=402308997&ptid=24011454][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
pi={x ∊ Q:(xx>0 ∧ sin x>0)}
我係畫條number line去睇個cut構造2^(2^(1/2)) Gelfond-Schneider constant
2^(2^(1/2))={a ∊ Q : a [/quote]
yes  Bingo 你的修正不錯。方向正確了,但可惜這還不是正確答案,呵呵,記得我說有三個trap嘛...?還有兩個要修正呢...
Hint:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\text{Do }\sin x:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}\text{ and}}\log x:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}\text{ a well defined function?}[/img]

[[i] 本帖最後由 [7] 於 2014-11-12 08:53 PM 編輯 [/i]]
頁: [1]
查看完整版本: 有理數分割