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iamnotaboy 2015-7-30 12:01 AM

Difference Equation

有一數列U(n)符合以下條件: A*U(n+2) + B*U(n) + C*U(n) = 0
現設 S = U(0) + U(1) + U(2) + ... ,

咁而家有
A*U(2) + B*U(1) + C*U(0) = 0
A*U(3) + B*U(2) + C*U(1) = 0
A*U(4) + B*U(3) + C*U(2) = 0
                  .
                  .
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將上面既式加晒,有
A*[S - U(1) - U(0)] + B*[S-U(0)] + C*S = 0
S*(A+B+C) - A*[U(1)+U(0)] - B*U(0) = 0
所以 S = [A*(U(1)+U(0)) + B*U(0)] / (A+B+C)

但我覺得好奇怪,例如用斐波那契數列,代 A=1,B=-1,C=-1,咁S就會出左會constant,但斐波那契數列好明顯係發散的。

現求我諗既野有咩唔妥?
我都有諗過可能同limit有關,應該用S(n) = U(0) + U(1) + U(2) + ... + U(n),
咁S(n)=[A*(U(1)+U(0)-U(n+1)-U(n+2)) + B*(U(0)-U(n+1)]/(A+B+C),再用 lim n->inf.。
但咁樣雖然有個似樣既答案,卻沒有回應本身個諗法出錯既地方。

14c14c 2015-7-30 12:19 AM

你係搞唔清楚d logic姐
你做到既野係如下

給出A,B,C real number
對於所有satsify
(i) A*U(n+2) + B*U(n+1) + C*U(n) = 0
(ii) S= sum U(n) converge
呢兩個條件既function U(n)
有  S = [A*(U(1)+U(0)) + B*U(0)] / (A+B+C)

你放fibonacci sequece(ii)唔satisfy, 出到錯誤既結論唔出奇

iamnotaboy 2015-7-30 08:14 PM

謝謝~~~~
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