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michelle_pretty 2016-1-5 11:57 AM

請教丟錢幣機率?

為了簡化, 所以只問丟到『字』那一面

- 假設每次丟到『字』為一個A
- 假設連續兩次丟到『字』為一個B
- 假設連續三次丟到『字』為一個C
- 假設連續四次丟到『字』為一個D
- 假設連續五次丟到『字』為一個E
- 假設連續六次丟到『字』為一個F
- 假設連續七次丟到『字』為一個G
- 假設連續八次丟到『字』為一個H
- 假設連續九次丟到『字』為一個I
- 假設連續十次丟到『字』為一個J
- 假設連續十一次丟到『字』為一個K

A到K的出現機率所加起來的總和等於1的情況下,
(即是10000次A到K的情況都有可以發生亦互相影響)

請問丟10000次錢幣, A到K 的出現機率分別是多少?

不好意思, 不知道有沒有表達清楚, 如果有那裡說不夠清楚, 我可以再講清楚,
以前數學學不好....所以在這請教各版友....望有數學強的版友可以解答...謝謝!

XMing 2016-1-5 04:34 PM

回覆 1# 的帖子

你個問題唔係好清晰. 如果10000次都是公, A至K都唔會出現, 而且A,B,C,.. K 出現的event 都唔係mutually exclusive.

例如:  字公公字字公字字字公...  A,B,C 都出現咗. A至K 出現既probability 加埋又怎會是 = 1?

michelle_pretty 2016-1-6 01:12 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2016-1-5 04:34 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=433336116&ptid=25426281][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
你個問題唔係好清晰. 如果10000次都是公, A至K都唔會出現, 而且A,B,C,.. K 出現的event 都唔係mutually exclusive.

例如:  字公公字字公字字字公...  A,B,C 都出現咗. A至K 出現既probability 加埋又怎會是 ... [/quote]

不好意思, XMing 師兄...證明我數學概念真的好差...哈哈....
我寫A至K出現的機率總和要等於1 , 是因為 A至K 在這10000次的丟錢幣中,
理論上都會出現, 而且相換影響, 即是ABCDE 多左, FGHIJK 就會少左...相反亦一樣...
所以我先以為A至K 的機率加埋會等於1....

那請問XMing 師兄, 如果10000次都是公/字, A至K分別出現的機率會是幾多呢? (不理會機率總和是否等於1了...) 謝謝!!

AOZ 2016-1-8 10:46 AM

A到K的出現機率所加起來的總和唔可能等於1喎.

簡單來說, 公/字, 得出字的機會是1/2, 即係A=1/2
B= 2次A = 1/2 x 1/2 = 1/4
C= 1/8, D = 1/16 etc etc

如果A~K出現機率係1, 咁即係我丟o左10000次都唔可以出現過"公"先得喎, 咁已經唔係一個"fair coin"了吧.

XMing 2016-1-8 02:21 PM

[quote]原帖由 [i]michelle_pretty[/i] 於 2016-1-6 01:12 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=433369463&ptid=25426281][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


不好意思, XMing 師兄...證明我數學概念真的好差...哈哈....
我寫A至K出現的機率總和要等於1 , 是因為 A至K 在這10000次的丟錢幣中,
理論上都會出現, 而且相換影響, 即是ABCDE 多左, FGHIJK 就會少左...相反亦 ... [/quote]

其實你個問題係咪問在10000次擲硬幣中, 有出現過A的機會率是多少, B又是多少, C, D,E,...K 分別唔同的機率是 多少 ?

假設是B的話, 以下的投擲硬幣是中的

(H-公, T-字)

HTTHTHHHHHH....    (B出現一次)  
HHHTTHTTHTTH....   (B出現兩次)

XMing 2016-2-16 03:29 PM

[quote]原帖由 [i]michelle_pretty[/i] 於 2016-1-6 01:12 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=433369463&ptid=25426281][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


不好意思, XMing 師兄...證明我數學概念真的好差...哈哈....
我寫A至K出現的機率總和要等於1 , 是因為 A至K 在這10000次的丟錢幣中,
理論上都會出現, 而且相換影響, 即是ABCDE 多左, FGHIJK 就會少左...相反亦 ... [/quote]

[font=新細明體][/font]假設我要計算在擲[font=Calibri]n[/font]次硬幣出現有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機率[font=Calibri],[/font]假設其機率為一個二元函數[font=Calibri] P(n,k) .[/font]
[font=新細明體][/font]
好明顯[font=Calibri], [/font]當[font=Calibri]0<=n<k, P(n,k)=0, [/font]
[font=新細明體][/font]
當[font=Calibri] n=k, P(n,k) =P(k,k)=(1/2)^(k)[/font]
[font=新細明體][/font]
當[font=Calibri]n=k+1, P(k+1,k)=(1/2)^(k) (Why ?)[/font]
[font=新細明體][/font]
當[font=Calibri] n >= k+2[/font]時[font=Calibri], [/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]" ([/font]機會率是[font=Calibri]1/2) , [/font]則在以後[font=Calibri]n-1[/font]次擲硬幣出有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機率為[font=Calibri]P(n-1,k)[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]", [/font]第二次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]", ([/font]機會率是[font=Calibri]1/2^2), [/font]則在以後[font=Calibri]n-2[/font]次擲出有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機會率為[font=Calibri]P(n-2,k)[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]", [/font]第二次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]", [/font]第三次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]", ([/font]機會率是[font=Calibri]1/2^3), [/font]則在以後[font=Calibri]n-3[/font]次擲出有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機會率為[font=Calibri]P(n-3,k),[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次至第[font=Calibri]s(s<k) [/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]" ([/font]機會率是[font=Calibri]1/2^s), [/font]第[font=Calibri]s+1[/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]", [/font]則在以後[font=Calibri]n-s-1[/font]次擲出有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機會率為[font=Calibri]P(n-s-1,k),[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次至第[font=Calibri]k[/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]", [/font]第[font=Calibri]k+1[/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]",[/font]其機會率為[font=Calibri]1/2^(k+1),[/font]在以後擲出什麼都不影響[font=Calibri], [/font]因為[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現巳發生[font=Calibri].[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次至第[font=Calibri]s (n-k-1>=s>k) [/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]" ([/font]機會率是[font=Calibri]1/2^s), [/font]第[font=Calibri]s+1[/font]次擲出的是[font=Calibri]"[/font]公[font=Calibri]", [/font]則在以後[font=Calibri]n-s-1[/font]次擲出有[font=Calibri]k[/font]次[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]連續出現的機會率為[font=Calibri]P(n-s-1,k),[/font]
[font=新細明體][/font]
如果第一次至第[font=Calibri]n-k[/font]次擲出都是[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]",[/font]那麼在餘下都不可能擲出連續[font=Calibri]k[/font]次的[font=Calibri]"[/font]字[font=Calibri]"[/font]
[font=新細明體][/font]
如此[font=Calibri], [/font]由全概率公式[font=Calibri], [/font]
[font=新細明體][/font]
可以得到以下的[font=Calibri]recursive formula [/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(n,k)=1/2*P(n-1,k)+1/2^(2)*P(n-2,k)+1/2^(3)*P(n-3,k)+...+1/2^(k)*P(n-k,k)+1/2^(k+1)+1/2^(k+2)*P(n-k-2,k)+... +1/2^(n-k)P(k,k)
(1)[/font]
[font=新細明體][/font]
在上一式[font=Calibri](1)[/font]將[font=Calibri]n-1[/font]代替[font=Calibri]n[/font]得
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(n-1,k)=1/2*P(n-2,k)+1/2^(2)*P(n-3,k)+1/2^(3)*P(n-4,k)+...+1/2^(k)*P(n-1-k,k)+1/2^(k+1)+1/2^(k+2)*P(n-3-k,k)+1/2^(k+3)*P(n-k-4)+... +1/2^(n-1-k)P(k,k)
(2)[/font]
[font=新細明體][/font]
將[font=Calibri] (2) [/font]兩邊乘上[font=Calibri] 1/2, [/font]即
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]1/2*P(n-1,k)=1/2^(2)*P(n-2,k)+1/2^(3)*P(n-3,k)+1/2^(4)*P(n-4,k)+...+1/2^(k+1)*P(n-1-k,k)+1/2^(k+2)+1/2^(k+3)*P(n-3-k,k)+1/2^(k+4)*P(n-k-4)+... +1/2^(n-k)P(k,k)
(3)[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri](1) - (3)[/font]得
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(n,k)-1/2*p(n-1,k)=1/2*P(n-1,k)-1/2^(k+1)*P(n-1-k,k)+1/2^(k+1)-1/2^(k+2)+1/2^(k+2)*P(n-k-2,k)[/font]
[font=新細明體][/font]
所以
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(n,k)=P(n-1,k)-1/2^(k+1)*P(n-k-1,k)+1/2^(k+2)*P(n-k-2,k)+1/2^(k+2)
n>=k+2
(4)[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri] [/font]
利用[font=Calibri]Recursive formula 4 [/font]去計算投擲[font=Calibri]10000[/font]次某字母出現的機會率
[font=新細明體][/font]
如要計算[font=Calibri] B [/font]在[font=Calibri] 10000 [/font]投擲出現的機會率
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]n=10000, k=2[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(2,2)=1/4[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(3,2)=1/4[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(4,2)=P(3,2)-1/2^3*P(1,2)+1/2^4*P(0,2)+1/2^4=1/4+1/16=5/16[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(5,2)=P(4,2)-1/2^3*P(2,2)+1/2^4*P(1,2)+1/2^4=5/16-1/8*1/4+1/16[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]
=(10-1+2)/32=11/32[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]P(6,2)=P(5,2) -1/2^3*P(3,2)+1/2^4*P(2,2)+1/2^4=11/32-1/8*1/4+1/16*1/4+1/16=(22-2+1+4)/64=25/64[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]...[/font]
[font=新細明體][/font]
利用[font=Calibri]Excel [/font]及[font=Calibri] recursiveformula 4 [/font]當[font=Calibri]n=300, k =2, P(300,2)=0.999999999, [/font]巳經非常接近[font=Calibri]1. [/font]
[font=新細明體][/font]
如果用[font=Calibri]Excel[/font]去計投擲[font=Calibri]10000[/font]次[font=Calibri]A-K[/font]出現的機會率如下[font=Calibri]:[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri]n=10000[/font]
[font=新細明體][/font]
字母 A-F, k=1-6, 機會率>0.999999999
[font=Calibri]字母 G k=7, P=0.999999997
字母 H k=8, P=0.999946348[/font]
[font=Calibri]字母 I k=9, P=[/font][font=Calibri]0.992555309[/font]
[font=Calibri][font=Calibri]字母 J k=10, P=0.913306194[/font]
字母 K k=11, P=0.705151068
[/font][font=Calibri]
[/font][font=Calibri]當然寫程式去計更好. 因為有double precision. 但Excel好似無.[/font]
[font=新細明體][/font]
[font=Calibri] [/font]
[font=新細明體][/font]

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2016-2-16 03:34 PM 編輯 [/i]]
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