查看完整版本 : 1+2+3+4+.....

1+2+3+4+5+6+......= -1/12
any physical meaning in this equation?

學習

根本不成立
原因是左方不收斂
不能探討等號的意義

我知 ...... = -21.08333333333.. :smile_35:

[quote]原帖由 [i]franky_0219[/i] 於 2016-8-25 04:59 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=446903336&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
根本不成立
原因是左方不收斂
不能探討等號的意義 [/quote]
:smile_o12:

[quote]原帖由 [i]投資專家[/i] 於 2016-8-1 03:18 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=445537535&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
1+2+3+4+5+6+......= -1/12
any physical meaning in this equation? [/quote]


[color=#000000]卡西米爾效應[/color]，便是用這 zeta  函數。

超弦理論也要用這經過調整的 zeta 函數去消除無限大值。

數學的證明方法?

[quote]原帖由 [i]biochemphy[/i] 於 2016-8-26 09:10 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=446937902&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
數學的證明方法? [/quote]


用中學的數學去證 :

Let  S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.....  (1)


(1)+(1):

       S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 .....
+     S1 = 0 +1  - 1 + 1 - 1 + 1 .......
_______________________________
       2S1 = 1

S1 = 1/2  ........................(2)


Let  S2 =  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ..........  (3)


(3) +(3) :

    S2 =  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -
    S2 =  0 +1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ....
___________________________________

2xS2 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - .......
2xS2 = S1 = 1/2

S2 = 1/4   ................................. ( 4 )


let   S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ..........................( 5 )

(5) - (3) :
       
        S3  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + .........
     -  S2  = 1 - 2  + 3 - 4 + 5 - 6 + .......
_____________________________________
S3 - S2 =   0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 10 + 0 + 12 + ......
           =   4 + 8 + 10 + 12 + ....
           =   4 (  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .......   )
           =   4 x S3

S3 - S2  = 4 x S3

3xS3 = -S2     ...............................( 6 )

由 ( 4 ) : 代入 S2 = 1/4

3 x S3 = -1/4

S3 = - 1/12  

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + .....  = -1/12

由極限理論, 求infinite series 的總和 ,  係先決定infinite series 是divergence 或 convergence
如果infinite series 係convergence , 是用極限定義證明級數的極限值.
但infinite series , 加法的associative property ,commutative property 是不適用.

所以原問題 : 1+2+3+4+5+6.....+n....... = -1/12
1. 先決定infinite series 係 convergence.
2. 用極限嚴密的定義證明級數的極限值. (不是用加法的associative property ,commutative property )

[[i] 本帖最後由 biochemphy 於 2016-8-26 12:50 PM 編輯 [/i]]

請用極限嚴密的定義證明

級數 1+2+3+4+5+6.....+n....... 的極限值 = -1/12 .

[[i] 本帖最後由 biochemphy 於 2016-8-26 12:50 PM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]biochemphy[/i] 於 2016-8-26 12:46 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=446948680&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
請用極限嚴密的定義證明

級數 1+2+3+4+5+6.....+n....... 的極限值 = -1/12 . [/quote]


你是對的，用數學極限嚴密，1+2+3+4+5...是散發的。所有散發數列不可，加，減！

但在物理學上，對無限大的數列有所謂正規化的處理，當中考慮數列的加減異步操作，加上時間，每一步的操作的起始點是可以不同(例如加0在數列前等等)。

這些正規化操作後，計算的結果也合乎實驗的結果，所以很多物理學家也要用這些正規化的結果。

若 infinite integral 發散,
regularization :    分離出無窮大和有限值兩個部分.
renormalization: 分離出來的無窮大部分，用方法將它消去.

[quote]原帖由 [i]ycjen[/i] 於 2016-8-26 11:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=446946401&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

用中學的數學去證 :

Let  S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.....  (1)


(1)+(1):

       S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 .....
+     S1 = 0 +1  - 1 + 1 - 1 + 1 .......
_______________________________
       2S1 = 1

S1 = 1/2  ........................(2)
[/quote]

這個步驟好像已出了問題

[quote]原帖由 [i]星海揚帆[/i] 於 2016-8-28 03:16 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=447062531&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


這個步驟好像已出了問題 [/quote]


你說得對, 在嚴謹的數學中, 當然有問題 !  
純數學的角度  1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...... 不會指向一極限.

但在物理學中的正規化的處理,是如何做 1 -1 + 1 - 1 + 1 - .....   ?

物理現象如量子狀況等等, 如果加上時間去考慮,

每一加減步聚為一時間單位時 ( 不一定是實際的時間 ), + 1 先, - 1, 再 + 1, 再 - 1, 再 + 1, 用有時序去想,

每一步結果是 1, 0, 1, 0 , 1, 0 , .......

如果  1 代表發光的燈泡 100% 光度 , 0 代表不發光的燈泡 0% 光度 ( 量子起伏 ...)

燈泡不停的開關, 如果燈泡開關速度促快, 你會看到什麼 ? 50% 的光度 !

純數學的角度是沒有時間的考慮 !

[quote]原帖由 [i]ycjen[/i] 於 2016-8-28 08:02 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=447076622&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

..

燈泡不停的開關, 如果燈泡開關速度促快, [color=red]你會看到什麼[/color] ? 50% 的光度 !
..
[/quote]



咁快 , 會唔會都係100% 光度呀  ?  :smile_41:

[quote]原帖由 [i]yummybeat[/i] 於 2016-8-28 09:12 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=447080156&ptid=25983079][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]




咁快 , 會唔會都係100% 光度呀  ?  :smile_41: [/quote]




考慮兩個情況

1.  LED 在 1秒內不停開 ( 直流電 ) : 光度 : 100%                     ( 輸入能量 : 1 )

2.  LED 在 1秒內 方波 ( 1, 0, 1, 0, ..... 好快, 但不是無限快 ) :  光度 : 50%      ( 只有輸入能量 : 1/2 )

1+2+3+4+5+6+......=無限大

[quote]原帖由 [i]ycjen[/i] 於 2016-8-26 11:52 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=446946401&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



用中學的數學去證 :

Let  S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1.....  (1)


(1)+(1):

       S1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 .....
+     S1 = 0 +1  - 1 + 1 - 1 + 1 .......
_______________________________
      ... [/quote]
S3-S2=
右邊是無+10的

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2022-2-9 08:50 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545351156&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

S3-S2=
右邊是無+10的 [/quote]
全部正整數加起來的總和應該也是正數,為何結果是負的分數? 這樣不是很不合理嗎?:smile_41:

[quote]原帖由 [i]lightspeed2020[/i] 於 2022-2-10 08:32 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545363926&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

全部正整數加起來的總和應該也是正數,為何結果是負的分數? 這樣不是很不合理嗎?:smile_41: [/quote]
李老師有解釋：:lol

[url]https://youtu.be/T93SayXhw2w[/url]

[quote]全部正整數加起來的總和應該也是正數,為何結果是負的分數? 這樣不是很不合理嗎?:smile_41:[/quote]

同你嘅直覺好唔同，因為係一直加加到去無限，而現實生活上一般唔會接觸到。

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2022-2-10 10:16 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545367001&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

李老師有解釋：:lol

https://youtu.be/T93SayXhw2w [/quote]
睇完都唔係好明 可以解釋下嗎?


喺微積分嘅理論,呢個數列唔係冇極限值?
所以真係好唔明.
:smile_41:

[[i] 本帖最後由 lightspeed2020 於 2022-2-11 07:59 AM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]lightspeed2020[/i] 於 2022-2-11 07:56 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545399704&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

睇完都唔係好明 可以解釋下嗎?


喺微積分嘅理論,呢個數列唔係冇極限值?
所以真係好唔明.
:smile_41: [/quote]
我只知#1條數列全是自然數, 因發散所以加總必=無限大, so= -1/12肯定是錯的,

但若用黎曼涵數, #1數列要用複數, =-1/12就未必錯, 但這只適用於黎曼涵數和量子力學。

可看看此片, 詳細我唔識, 但我看到i：:smile_53:
[url]https://youtu.be/U_g_OZLt4OU[/url]

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2022-2-11 05:05 PM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2022-2-11 03:03 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545412938&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

我只知#1條數列全是自然數, 因發散所以加總必=無限大, so= -1/12肯定是錯的,

但若用黎曼涵數, #1數列要用複數, =-1/12就未必錯, 但這只適用於黎曼涵數和量子力學。

可看看此片, 詳細我唔識, 但我看到i：:smile_53:
https://youtu.be/U_g_OZLt4OU [/quote]
但這個數列只是正整數, 為何使用黎曼函數?
物理上如何應用黎曼函數 ?

我的意思是說若果"1" 只是某個量的定義並且是常量.
1+2+3+4+5+6+...... =1+(1+1)+(1+1+1)+ … = 1+1+1+ … =某個常量的無限總和

黎曼函數點解可以應用在某個常量的總和 ?
"卡西米爾效應，便是用這 zeta  函數。" 請問如何理解這句說話?

"1" 可以是一個單位的力,一個單位的電流,一個單位的重量,
"1"個單位的物理量(力,電流,重量 …), 若果從黎曼函數的觀點,物理常量的無限總和 = -1/12 ?
這個觀點合理嗎? 非常不明白.
:smile_41:

[[i] 本帖最後由 lightspeed2020 於 2022-2-12 08:56 AM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]lightspeed2020[/i] 於 2022-2-12 08:33 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545438536&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

但這個數列只是正整數, 為何使用黎曼函數?
物理上如何應用黎曼函數 ?

我的意思是說若果"1" 只是某個量的定義並且是常量.
1+2+3+4+5+6+...... =1+(1+1)+(1+1+1)+ … = 1+1+1+ … =某個常量的無限總和

黎曼函數點解可以應用在某個常量的總和 ?
"卡西米爾效應，便是用這 zeta  函數。" 請問如何理解這句說話?

... [/quote]
咁我就不清楚了。

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2022-2-12 09:16 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545439514&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

咁我就不清楚了。 [/quote]
或者我可以好簡單咁講解一吓，盡量簡單啲。一般情況下你會覺得唔合理，有咩理由全部數字（自然數）都係正數，仲要愈嚟愈大，但係加起上嚟不但止唔係趨向無限，仲要係負數。第一步就首先要講下點解你會覺得加起上嚟係趨向無限，因為以你日常接觸到嘅數學，加數都係[i]有限項數求和(finite sum)[/i]，即係你試下用一部足夠強大嘅計數機去一個數字一個數字咁去加起上嚟，個數字的確會係正數而且愈嚟愈大，同你嘅直覺完全吻合。而最大問題係依家你處理緊嘅係[i]無限項求和(infinite sum)[/i]，所以部份直觀嘅概念並唔適用。我會直接引用一個數學上嘅結果去等你感覺到有唔同，重點係個級數會唔會發散(diverge)。

例子1:
sum_{k=1}^infinity  1/2^k  =
計法一：1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1
計法二：1/2 + (1/4 + 1/8) + (1/16 + 1/32 + 1/64) + ... = 1
兩者結合吻合，因為計法一（無加括號）會收斂(converge)，所以計法二都會收斂到用一個結果，所以邊幾個項加先並唔影響結果。

例子2:
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
但 1 - 1 + 1 - 1 + 1 + ... ≠ 0 而係會發散，可以用項測試(term test)去證明
(1 - 1) + (1/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2) + (1/3 + 1/3 + 1/3 - 1/3 - 1/3 - 1/3) + ... = 0
但 1 - 1 + 1/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2 + 1/3 + 1/3 + 1/3 - 1/3 - 1/3 - 1/3 + ... ≠ 0 而係會發散，因為 S_{n^2} = 1 同埋 S_{n^2 + n} = 0 所以 lim_{n to infinity} S_n 並唔存在。

所以就例子可見，有限項求和同無限項求和可以好唔同，尤其級數發散時，唔係次次都可以加括號改變加法嘅次序，所以直覺唔一定啱。如果想學多啲可以睇啲數學分析(mathematical analysis)嘅書，通常學完基本嘅微積分之後就會學。而黎曼zeta函數(Riemann zeta function)係涉及咗解析延拓(analytic continuation)，主要係你發現zeta(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會發散，但係zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + +4 + ... = -1/12， 因為解析延拓會幫你點樣由zeta(n = 1)避開咗個會導致級數發散嘅取值地方，而直接去到一個級數zeta(n = -1)唔會發散嘅取值地方。呢個技術會喺虛分析(complex analysis)入面學，通常係學完數學分析嘅入門之後學。至於zeta(-1)幾時會喺物理入面用到就係弦理論計算臨界維度係D = 26時會用到。

推界嘅書，基本上都係讀完微積分之後必睇：
數學分析：Principles of Mathematical Analysis, 3e by Walter Rudin
虛分析：Real & Complex Analysis, 3e by Walter Rudin

有時自己睇書慢慢學，書入面有更加詳盡嘅解析會學得更加好，始終睇片都係流於科普性質，講者都係抽自己覺得重要嘅部份嚟講(我啲回覆都係)，所以唔明都好正常。

[quote]但這個數列只是正整數, 為何使用黎曼函數?
物理上如何應用黎曼函數 ?

我的意思是說若果"1" 只是某個量的定義並且是常量.
1+2+3+4+5+6+...... =1+(1+1)+(1+1+1)+ … = 1+1+1+ … =某個常量的無限總和

黎曼函數點解可以應用在某個常量的總和 ?
"卡西米爾效應，便是用這 zeta  函數。" 請問如何理解這句說話?

"1" 可以是一個單位的力,一個單位的電流,一個單位的重量,
"1"個單位的物理量(力,電流,重量 …), 若果從黎曼函數的觀點,物理常量的無限總和 = -1/12 ?
這個觀點合理嗎? 非常不明白.
:smile_41:
[/quote]

黎曼函數只係比個名呢個級數(series)，所以唔洗太在意，重點在於在+1取值時會發散，點樣去繞道去-1取值。睇你何謂物理意義，呢種技術做量子場論計算時經常都會用到。

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2022-2-12 12:54 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545447024&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

或者我可以好簡單咁講解一吓，盡量簡單啲。一般情況下你會覺得唔合理，有咩理由全部數字（自然數）都係正數，仲要愈嚟愈大，但係加起上嚟不但止唔係趨向無限，仲要係負數。第一步就首先要講下點解你會覺得加起上嚟係趨向無限，因為以你日常接觸到嘅數學，加數都係有限項數求和(finite sum)，即係你試下用一部足夠強大嘅計數機去一個數字一個數字咁去加起上嚟，個數字的確會係正數而且愈嚟愈大，同你嘅直覺完全吻合 ... [/quote]
主要係你發現zeta(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會發散，但係zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + +4 + ... = -1/12

<<<<<<<<<<<<<

明白, 現再逐步深入拆解

zeta(-1)=1+2+3+4....=-1/12
那麼這個1+2+3+4..…數列的數是否自然數？若不是, 是甚麼數？ :smile_53:

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2022-2-12 01:21 PM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2022-2-12 01:19 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=545448217&ptid=25983079][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

主要係你發現zeta(1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...會發散，但係zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + +4 + ... = -1/12

<<<<<<<<<<<<<

明白, 現再逐步深入拆解

zeta(-1)=1+2+3+4....=-1/12
那麼這個1+2+3+4..…數列的數是否自然數？若不是, 是甚麼數？ :smile_53: ... [/quote]
係自然數，解析延拓唔會影響數字嘅本質。請參考[url=https://www.cantorsparadise.com/a-gentle-introduction-to-analytic-continuation-c1ab92fb2ba1]https://www.cantorsparadise.com/a-gentle-introduction-to-analytic-continuation-c1ab92fb2ba1[/url] 又或者之前推介過嘅書。