# 查看完整版本 : 物理學的拓撲概念

blackair 2016-11-25 11:02 AM

## 物理學的拓撲概念

topological insulators 係最熱門的話題 ,

Band Theory in crystal
Energy band 的形成 ,
2個方向討論 :  數學模式 , and 物理機制;

|Ψ1> + |Ψ2> + ....+|Ψn>......superposition state of  atomic wave function ,

( energy level splitting 參考: ) [url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_12.html]http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_12.html[/url]

E0  -> splitting --> E0 + E' , or  E0 -E' ...............

energy level splitting 是離散 .

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blackair 2016-11-25 04:19 PM

Band structure,

1. 先了解  periodic potential V (r)
V( r+ a) =V(r)

Schrödinger equation 參考: [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation]https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation[/url]   Time-independent equation

translation operator T
T HΨ(x) = HΨ(x+a) =HTΨ(x)
[ TH - HT ] Ψ(x) = 0

T and  H 有一樣嘅 eigenfunction

TΨ(x) = Ψ(x+Na) = (參數)Ψ(x)

Bloch vector k    ( 電子在動量空間的位置與能量有關 , k_p perturbation theory 再討論)
Band index n.

Ψnk(r) = e^(ikr) unk(r)  (下次 Fourier analysis 再討論)
k and  n 係好重要,以後討論拓撲的入門基礎.

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blackair 2016-11-28 10:18 AM

(物理狀態 : x|Ψ> , P|Ψ> , ...........)

H|Ψ> = E|Ψ>
E  表示粒子的能量狀態.

Fourier analysis ,
periodic potential
V (r + T) = V(r) = Σ (G) VG e^iGr
G : 參考[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_lattice]https://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_lattice[/url]  reciprocal lattice

wave function periodic
Ψ(r) = Σ (k) Ck e^ikr ,

and
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Born%E2%80%93von_Karman_boundary_condition]https://en.wikipedia.org/wiki/Born%E2%80%93von_Karman_boundary_condition[/url]

V(r)Ψ(r)  Fourier 複數運算

{ Σ(k) (h^2 k^2/ 2m) Cke^ikx  +Σ (k', G) Ck' VGe^i(k'+G)x} = EΣ(k) Ce^ikx
k'= k-G

(h^2 k^2/ 2m - E) Ck  + Σ(G)  VGC{k−G} ) = 0

Ψk(r)  =e^ikr Σ (G)C{k−G} e^-iGr
=e^ikr uk(r)

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blackair 2016-11-29 09:36 AM

wave vector :  k = 2π/λ ,
= 2π(mv)/ h
Ek = 1/2 mv^2 = n^2k^2/(8π^2m)
k = nπ / L    L = potential well 長度
Ψn = a sin(nπx/L)
Ψk = a sin ( kx )
k=1/λ , .........
k space 確定一個點, 就可確定一個 energy level .

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blackair 2016-11-29 12:29 PM

| τ > , | υ > 代表 電子態,
1 代表 電子1 ,
2 代表 電子2 ,

system Ψ :
|u > =  | τ1 >  | υ2 >
A |u> | τ1 > | υ2 > - | τ2 > | υ1 >
| Ψ >  = 1/√2 ( | τ1 > | υ2 > - | τ2 > | υ1 >  )

eg.
systems  Φ1 ,Φ2  => 容納兩粒電子,
|Φ1(1) Φ2(2)|^2 = |Φ1(2) Φ2(1)|^2     ( distinguished )

Ψ = Φ (1,2) = 1/√2  { Φ1(1) Φ2(2) - Φ1(2) Φ2(1) }
Φ (1,2) = - Φ (2,1)
Φ1(1) Φ2(2) =  - Φ1(2) Φ2(1)  ( Fermions)

and

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles]https://en.wikipedia.org/wiki/Identical_particles[/url]

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blackair 2016-11-29 03:55 PM

H|Ψ> = E|Ψ>
{  p^2 /2m +V(r) } |Ψ>  = E|Ψ>
p =  ( h/i ) ∇   ,   let e^ikr =a
p^2 |Ψ>  = pp |Ψ>
= h^2k^2a|u> + 2hkpa|u> + ap^2|u>
p^2 /2m' |Ψ>  = a {h^2k^2/2m'+ hkp/m'+ p^2/2m'} |u>

( Ho + h/m' kp ) | u> = ( E - h^2k^2/2m' ) | u>

( Ho + h/m' kp ) | u>    k_p perturbation theory

( E - h^2k^2/2m' ) | u>  energy band 的初步數學結構出來了

blackair 2016-11-30 01:46 PM

Reciprocal space Fourier transform

e^-iHr
reciprocal space 中的單一個點H ,

f(r) : real space
F(H) : reciprocal space

f  and F are related :
Fourier transform
F(H)  = ∫ f(r) e^(- iHr) dr

Inverse Fourier transform
f(r)  = (1/2π)∫F(H)  e^( iHr) dH

X-ray 衍射: 晶體的晶面將入射的粒子束散射成點矩陣,

K space (動量空間) 是空間周期性的 index , 位置空間 real space  ω (x,y,z) 位置有一個晶格 (原子,分子...) ; 因晶格是週期性 ( 或稱空間平移對稱性  ),所以 ω (x,y,z)  + g 處也有一個相同的晶格 (原子,分子...).

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blackair 2016-12-1 09:04 AM

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure]https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_structure[/url]
Unit cell
Miller indices
Bravais lattice
Symmetry properties
Prediction of structure

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_crystallography]https://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_crystallography[/url]

Bragg's law   2dsin θ = nλ

Scattering

Energy gap 的觀念與Scattering and Bragg's law  有關.

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blackair 2016-12-1 10:13 AM

Complex fourier series
Σn [ -∞ ,∞] kn e^(inπx/L)

Fourier Transform
F(λ) = ∫[ -∞ ,∞] f(x)e^(-iλx) dx

F(λ) 的 Inverse Fourier Transform
f(x) = 1/2π ∫[ -∞ ,∞] F(λ) e^(iλx) dλ

1. Complex fourier series 是周期函數 T = 2π , (某範圍)
2. Fourier integral 是Complex fourier series 的極限 (數學結構)
3.Fourier integral 是[ -∞ ,∞] 範圍 ,非周期函數 .(數學結構)
4. 用Fourier integral 的目的是將Complex fourier series 推廣到為實驗數值,及周期特性變換為[ -∞ ,∞] 範圍 .(物理應用)
5. F(λ) 的Inverse Fourier Transform 就是Fourier integral .
6. 用Complex fourier series 描述固定週期的數學數值 , Fourier integral 是Complex fourier series 的極限求值(變為非固定周期). 再透過Transform描述及非固定周期的實驗數值.

real and reciprocal space 關係

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blackair 2016-12-1 12:58 PM

Topological insulator 講解的拓撲 ,係指 Energy Band 的 導體 , gap and 絕緣體的結構調整.

Translation operator
Parity operator
Time-reversal operator
C-symmetry
spin-orbit coupling
Schrödinger equation 的 Solution
symmetry breaking
topological invariant

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blackair 2016-12-2 12:07 PM

Complex fourier series  與 Fourier Transform 的重要物理意義:

f(x) = 1/2π [size=4]∫[/size][size=2][ -∞ ,∞][/size]  F(λ) e^(iλx) dλ  ,
|λ| > H  , F(λ) =0
f(x) = 1/2π [size=4]∫[/size][size=2][ -H ,H][/size] F(λ) e^(iλx) dλ

F(λ)  Complex form = [b][size=5]Σ[/size][/b][size=2][ -∞ ,∞] [/size]a[size=2]n[/size] e^(ikλ)   , k = nπ/H
a[size=2]n[/size] = (1/2H)∫[size=2][ -H ,H][/size] F(λ) e^(- ikλ) dλ
a[size=2]n[/size] = ( π/H ) f (-nπ/H)

F(λ) =  [b][size=5]Σ[/size][/b][size=2][ -∞ ,∞] [/size] ( π/H ) f (-nπ/H) e^(ikλ)
( π/H )  [b][size=5]Σ[/size][/b][size=2][ -∞ ,∞] [/size] f (nπ/H) e^(- ikλ)

f(x) = 1/2π [size=4]∫[/size][size=2][ -H ,H][/size]( π/H ) [b][size=5]Σ[/size][/b][size=2][ -∞ ,∞][/size]f (nπ/H) e^(- ikλ) e^(iλx) dλ
[b][size=5]Σ[/size][/b][size=2][ -∞ ,∞][/size] f (-nπ/H) [ { sin (Hx -n π) / ((Hx -n π) }]

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blackair 2016-12-2 09:38 PM

p(r)  是 r-real space 的週期函數 (某物理量)
p(r) 做 Fourier Transform 操作 ,變成 U[size=2]G[/size] 形態 (U[size=2]G[/size]   是 G- reciprocal space的週期函數) .

p(r) = [size=4]Σ[/size]G U[size=2]G[/size] e^(iGr)  => U[size=2]G[/size] = [size=4]∫[/size]p(r) e^(-iGr)dr

Σ[ -∞ ,∞] f (-nπ/H) [ { sin (Hx -n π) / ((Hx -n π) }]

[[i] 本帖最後由 blackair 於 2016-12-5 09:29 AM 編輯 [/i]]

blackair 2016-12-5 09:18 AM

f(x) = 1/2π ∫[ -H ,H]( π/H ) Σ[ -∞ ,∞]f (nπ/H) e^(- ikλ) e^(iλx) dλ
Σ[ -∞ ,∞] f (-nπ/H) [ { sin (Hx -n π) / ((Hx -n π) }]

Ψ[size=2]nk[/size](k) = u[size=2]nk[/size] (r) e^(ikr)
r =  location in real space
n =  band number
k =  wave vector

[b]Wannier function[/b]
[size=4]w[/size][size=2]0[/size](r) = f [size=5]∫[/size] [size=2]BZ[/size] Ψ[size=2]nk[/size](r) dk
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Wannier_function]https://en.wikipedia.org/wiki/Wannier_function[/url]  Wannier function - Localization

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blackair 2016-12-6 10:46 AM

Tight Binding  模型

Hamiltonian:  H
H = Ha + Hu => Full Crystal Hamiltonian

From  Schrödinger equation ( for Crystal ) :
HΨ(x) =EΨ(x)
( Ha + Hu )Ψ(r) =E(k)Ψ(r)

1. 要符合 Bloch wave 條件 ,
Crystal中對應此單位晶格的 bravais vector (單一個原子)的電子波函數:

// 用疊加原理建立某波函數 ,目的是了解局限在real space的某有限範圍區域內(Brillouin zone)的量子態. //

Ψ (r) = e^(ikr) u(r)

Ψ (r + R ) = e^(ikR) Ψ(r)
Ψ(r) = Σ R e^(ikR) w [size=2]n[/size] (r)
w n (r) = w[size=2]n[/size] (r- R)  ( δ-function )
wn and  localized atomic wave s ,p , ......
w n (r) = e^(ikR) Ψs(r) + e^(ikR) Ψp(r) + ..........
w n (r) = Σ (l = s,p,d,f,...) e^(ikR) Ψl(r)

Ψ(r) = Σ R e^(ikR) w [size=2]n[/size] (r)  (亦符合周期性 )
= (1/√N) Σ Rn e^(ikR) w[size=2]n[/size] (r- Rn)

<Ψ(r) conjugate | Ha | Ψ(r) >  =  E <Ψ(r) conjugate | Ψ(r) >
and,
Σe^(ikR) { ∫w[size=2]n[/size] (r- Rn)  conjugate Ha  w [size=2]n[/size] (r)  d^3 r }

<Ψ(r) conjugate | H | Ψ(r) > =
= <Ψ(r) conjugate | Ha | Ψ(r) >  + <Ψ(r) conjugate | Hu | Ψ(r) >
and,
Σe^(ikR) { ∫w[size=2]n[/size] (r- Rn)  conjugate H  w [size=2]n[/size] (r)  d^3 r }

<Ψ(r) conjugate | Ψ(r - R ) >   overlap
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_overlap]https://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_overlap[/url]

<Ψ(r) conjugate | Hu| Ψ(r ) >   Crystal  field
[url=http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.11.html]http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.11.html[/url]

<Ψ(r) conjugate | Hu| Ψ(r - R ) >   Interaction

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Tight_binding]https://en.wikipedia.org/wiki/Tight_binding[/url] Tight binding
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_]https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_[/url](quantum_mechanics) Hamiltonian

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blackair 2016-12-7 09:12 AM

free electron model

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Free_electron_model]https://en.wikipedia.org/wiki/Free_electron_model[/url]

Hamiltonian:  H  ,    V = 0
[ ▽ ^2 + 2mE/(h^2) ]  |Ψ >  = 0
electron  Ψ[size=2]k[/size](x) = e^(+-ikx)  ,  k =√{2mE/(h^2) }
eigenvalue E (k) = { ( h^2 k^2 ) / 2m }

E (k) 的圖形明顯是 拋物線 .
k  = nπ / L (  k 有 G - reciprocal space的週期特性. )

E (k) _ k  圖形 , 拋物線 圖案會有重覆出現的情況,

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Brillouin_zone]https://en.wikipedia.org/wiki/Brillouin_zone[/url]

free electron model 跟 Bloch wave 的比較 , 下次討論 !

[[i] 本帖最後由 blackair 於 2016-12-7 09:29 AM 編輯 [/i]]

blackair 2016-12-7 12:27 PM

Bloch Wave
Ψk(x) = e^(ikx)u(x)

e^(ikx)  =  plane wave
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave]https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_wave[/url]

e^(ik'2π)  =1  ,  k' = ...-2 , -1  , 0 , +1 , +2 , ....

L = Na

ka  = ( 2πk'  ) / N
e^(ik'2π/N)  =  e^(ika)  ,

u(x)  的數學結構.
u(x) = 有週期性的結構函數
u(x) = u(x + a ) , a = Lattice constant
u(x) 不一定是單位晶格的週期描述, 但週期性是要一樣
eg.

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blackair 2016-12-8 05:35 PM

e^(ika)  , k 本來產生自translation operator :  T  and 周期特性 ,
T Ψk(x) = e^(ika)  Ψk(x)

e^{(k + nG)ix }
T [ e^{(k + nG)ix }  ] = [ e^{(k + nG)i(x+a) }  ]
= e^(ika)  e^{(k + nG)ix }

[size=5]Σ[/size][size=2]n[/size] C[size=2]n[/size] e^{(k + nG)ix }     ....( superposition )
Ψk(x)  = [size=5]Σ[/size][size=2]n[/size] C[size=2]n[/size] e^{(k + nG)ix }
Ψk(x)  = [size=5]Σ[/size][size=2]n[/size] e^(ikx) C[size=2]n[/size] e^(inGx)
Ψk(x)  = e^(ikx) u(x)
u(x) = [size=5]Σ[/size][size=2]n[/size] C[size=2]n[/size] e^(inGx)
u(x) translation operator :
u(x +na) = [size=5]Σ[/size][size=2]n[/size] C[size=2]n[/size] e^{inG(x+a)} = u(x)

Bloch wave : Ψk(r) = e^(ikr) u(r)
u(r) 函數 係任何一個 unit cell ,都是與 unit cell 具有相同的週期性結構 .

[[i] 本帖最後由 blackair 於 2016-12-9 11:27 AM 編輯 [/i]]

blackair 2016-12-9 11:26 AM

Translation operator
|Ψ' > = T |Ψ >
< Ψ' | = < Ψ | T*
position  :  r
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Position_operator]https://en.wikipedia.org/wiki/Position_operator[/url]

under the translation   r ->  r + a
< Ψ' | r   |Ψ' > = < Ψ | r + a | Ψ >
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_operator_]https://en.wikipedia.org/wiki/Translation_operator_[/url](quantum_mechanics)

< Ψ | T* r T |Ψ >  = < Ψ | r + a | Ψ >

T* r T  = r  + a1  , ( Normalization  T* T  = 1 )

rT = T ( r + a1 )
= Tr + aT
rT  -  Tr = aT ,
[ r , T ] = aT

= ( r + a )T| r >
T | r >   = eigenvector of  r
( r + a ) = eigenvalue

wow

blackair 2016-12-10 10:56 AM

translation operator 在數學上,來自 Isometry group .
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry]https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry[/url]

Group 有兩個最基礎觀念是必需要知道,

Homomorphism : [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphism]https://en.wikipedia.org/wiki/Homomorphism[/url]

Isomorphism  : [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism]https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism[/url]

[[i] 本帖最後由 blackair 於 2016-12-10 11:02 AM 編輯 [/i]]

blackair 2016-12-12 09:50 AM

isometry:

(最簡單說明)

translation operator 明顯是 isometry .

Metric space :  (A1 , a1) and   (A2 ,a2)
Map φ ,
[size=4]∃[/size] x,y ∈ [size=4]∀ [/size]A

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blackair 2016-12-13 09:03 AM

{T|t} ,  space vector :r   ,
{T|t} r = Tr + t   : translation group

Irreducible representation of translation group _1
1.1    symmetry operation
S H S^-1 = H
SH = HS
Hamiltonian H = invariant  ( under  S )
{ S }  symmetry Group
S' and S"  :  operations

S'H S'^-1 = S' (S"HS"^-1)S'^-1
=  (S' S") H ( S' S" )
=  H
{ S }  symmetry Group  ->  group of the Hamiltonian

blackair 2016-12-13 04:59 PM

Irreducible representation of translation group _2

{ S }  symmetry Group  ->  group of the Hamiltonian

[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_mechanics[/url]
H(x) 與某物理系統對應 .

H(x) = H(tx) ( H = KE + U  = Invariant )

t 就是保持Hamiltonian Invariant 的一個operation

blackair 2016-12-14 09:52 AM

Irreducible representation of translation group _3

Quantum State 系統，Hamiltonian  H  有 invariance  => 這些 quantum operators可構成一個 symmetry group S
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_in_quantum_mechanics[/url]
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_group[/url]

group S  的 Irreducible representation 的 basis functions，就是 Hamiltonian  H  的 eigenfunction.

blackair 2016-12-15 10:17 AM

Irreducible representation of translation group _4

Degenerate
Quantum State 某個能量 E 所對應的eigenstate 不單祗是一個,或可能是多個 .
|Ψni >  : Degenerate of Quantum State System (簡單說 : energy level  fine-tune )
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Degenerate_energy_levels[/url]  Degenerate energy levels

Irreducible representation and Reducible representation

blackair 2016-12-15 10:59 AM

blackair 2016-12-16 10:23 AM

Irreducible representation of translation group _5

[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Group_representation[/url]

φ : Homomorphic Mapping
G : Group
V : Vector Space
T (V ,C) : linear transformation group [url]https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group[/url]

Group representation 定義:
φ :  G -> T
∀ g' ∈ G  , ∃  φ ( g' ) ∈ T
∀ g' ,g" ∈ G , ∃  φ ( g'g " )  = φ ( g' ) φ (g")

blackair 2016-12-18 10:13 AM

S |1>  =  |2>