查看完整版本 : 原子中電子軌域(orbital)的計算

xianrenb 2018-4-8 07:32 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-8 06:42 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478197727&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



若是軌跡Orbit的話 應該不會有 x, y, z term 出現? [/quote]

我知道我無學過大學程度的物理,可能用詞不當。
不過我的意思是,電子的位置在 (x, y, z) ,而且隨 t 變化而變化。
而 x, y, z 及 t 的關係就如上述三條算式。
7 個變數(先前我忘了有 momentum) 3 條式,理論上各變數可用另外 4 個 parameter 來描述。
不過上面的算式,算式左右兩方都有 x 、 y 、 z ,不夠完美。
但求得的過程,看來正確。

rhwlam 2018-4-8 07:38 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-8 17:42 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478194452&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
找番本陳年舊書
希望幫到你
知識99%比番老師了
而且不是物理學 我考試唔使識呢味野
:smile_35:
我記得係同Electron是fermions
有關
Assymmetric wavefunction
81242288124229 [/quote]
非常感謝! :smile_o06:

Zzlaz 2018-4-8 08:04 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-8 07:32 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478200380&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


我知道我無學過大學程度的物理,可能用詞不當。
不過我的意思是,電子的位置在 (x, y, z) ,而且隨 t 變化而變化。
而 x, y, z 及 t 的關係就如上述三條算式。
7 個變數(先前我忘了有 momentum) 3 條式,理 ... [/quote]


你想要條軌跡
咁Electron 若按軌跡行

咁條式就應該只係同時間有關

而家找唔到確實證據話個軌跡存在

先去談Probability ?

xianrenb 2018-4-8 08:19 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-8 08:04 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478202193&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



你想要條軌跡
咁Electron 若按軌跡行

咁條式就應該只係同時間有關

而家找唔到確實證據話個軌跡存在

先去談Probability ? [/quote]

我(至少現在)無能力將條式的右方轉為無 x 、 y 、 z 的算式。
另一方面,其實 x0, y0, z0 都是一種 variable ,不過當 t = 0 能測得 x0, y0 及 z0 ,就可以當它們是 constant 。
如果在另一時間 t = t1 ,再測得 x = x1, y = y1, z = z1 ,就可以多三條式。
那麼理論上就可以用單一個 parameter 描述所有 variable ,就應該是一條軌跡了。
不過另一方面,現實可能根本測不到 x0、 x1 等值。
這種情況,即是 variable 間有一定的限制/算式,但同時又不會完全限制成只有一組固定 value (如果資料不足的話)。
某程度上,就與現在的 quantum mechanics 一樣。

xianrenb 2018-4-8 08:49 PM

[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system]https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system[/url]

看來直接代入以下算式,就可求得 Spherical coordinate system 下的算式:
x = r * sin θ * cos φ
y = r * sin θ * sin φ
z = r * cos θ

rhwlam 2018-4-8 09:20 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-8 17:42 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478194452&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
找番本陳年舊書
希望幫到你
知識99%比番老師了
而且不是物理學 我考試唔使識呢味野:smile_35:
我記得係同Electron是fermions
有關Assymmetric wavefunction [/quote]
"The Pauli exclusion principle states that different product wave functions of the type [i]Ψ[/i](1,2, 3, …, n) = [i]Ф[/i]_1(1) x [i]Ф[/i]_2(2)… x [i]Ф[/i]_[i]n[/i]([i]n[/i]) must be combined such that the resulting wave function changes sign when any two electrons are interchanged."
在思考wavefunction的anti-symmetry之前, 小弟想了一下原子的wavefunction是否乎合"[i]Ψ[/i](1,2, 3, …, n) = [i]Ф[/i]_1(1) x [i]Ф[/i]_2(2)… x [i]Ф[/i]_[i]n[/i]([i]n[/i]) "呢?
當然是乎合了, 不然Pauli exclusion principle怎能應用到原子中的電子分佈分析呢? 但是, 為甚麼乎合?
以Helium原子為例, 當中有兩個電子, 其中整體的wavefunction為[i]Ψ[/i], 而個別電子的wavefunctions為[i]Ф[/i]_1和[i]Ф[/i]_2及其關係如下(請參考之前的帖#011和#022, 在這裡我們也加上了電子間的排斥項):
[attach]8125018[/attach]
當中[i]Z[/i]'_1是[i]z[/i]=1時[i]Z[/i]_1的值(而[i]Z[/i]'_2是[i]z[/i]=1時[i]Z[/i]_2的值). 當Helium在group state, [i]Z[/i]_1=[i]Z[/i]_2和[i]E[/i]_1=[i]E[/i]_2. 正如Zzlaz之前所說, Helium不一定在ground state, 所以這兩個等價關係在這裡不用考慮.
此時, 我們若設: [i]Ψ = C_[/i][i]Ψ * [/i][i]Ф[/i]_1 * [i]Ф[/i]_2
[i]Ψ[/i]便可以滿足以上兩條微分方程了!
另外, [i]C_[/i][i]Ψ [/i]可以透過帖#014提到的體積積分求出:
[attach]8125061[/attach]
因為Helium有兩個電子, 以上的積分應等於2/[i]C_[/i][i]Ψ.[/i]

在錯請指正. 先謝!

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-9 01:51 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-9 09:56 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-7 14:22 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478123591&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
另外, 想請教一下大家. 為何一個orbital中只有兩個電子?
例如, 為甚麼Helium有兩個電子在1s, 而不是一個在1s而另一個在2s?
又例如, 為甚麼Lithium有兩個電子在1s一個電子在2s而不是其他組合?
謝謝. [/quote]
對於電子數目在軌域的存在, 小弟想過了一個[b]錯誤[/b]的解釋.
引用帖#012和#036, Helium加上電子排斥力的一個電子的徑向的方程為:
[attach]8129448[/attach]
當中的[i]Z'[/i] = [i]Z[/i]/2, [i]n[/i] = 1, [i]l[/i] = 0.
[indent][color=#ff0000][b]補註(1):[/b]
跟據之前帖#012所述, [i]Z[/i] (或[i]Z[/i]_1) = [i]ze[/i]^2/(4pi*epilison), 而這裡Helium的質子數[i]z[/i] = 2.
另外, 電子的相斥力([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law]https://en.wikipedia.org/wiki/Coulomb%27s_law[/url])為-[i]e[/i]^2/(4pi*epilison_o*[i]r[/i]_12) = -[i]Z[/i]'/[i]r[/i]_12[i], [/i]所以[i]Z[/i]' = [i]e[/i]^2/(4pi*epilison_o).
因此, [b][i]Z[/i]' = [i]Z[/i]/2[/b].[/color][/indent]Helium另一個電子的公式類同. 因為這個原因, 小弟試作一個[b]沒有根據[/b]的假設:
[indent][i]若兩個電子存在於同一個軌域, 兩個電子的徑向位置(r)一樣. [/i][/indent]那麼, 最低的電子排斥力會對應兩個電子會在原子核的的兩邊如下.
[attach]8129449[/attach]
那麼[i]r[/i]_12 = 2[i]r[/i].
[indent][color=#ff0000][b]補註(2):[/b]
比較之前在帖#017提供的徑向常微分方程, 上面的微分方程將"帖#017中的[i]Z[/i]/[i]r[/i]"變成了"[i]Z[/i]/[i]r[/i] - [i]Z[/i]'/(2*[i]r[/i]_12)"也等於"3/4*[i]Z[/i]/[i]r[/i]".
帖#017提供了電子能量[i]E[/i]與[i]Z[/i]的關係為: [i]E[/i] = -[i]Z[/i]^2*mu/(2[i]ћ[/i]^2)/[i]n[/i]^2. 我們這裡設帖#017的[i]E[/i] = [i]-E_o.[/i]
這裡Helium的一個電子的能量可以靠取代帖#017的[i]Z[/i]為"3/4*[i]Z[/i]", 所以Helium的一個電子的能量為[b]-9/16[i]*E_o[/i][/b].[/color][/indent]因此, 其電子能[i]E[/i]_1相對於能層[i]n[/i]=1的orbital(1s)的電子能量(-[i]E_o[/i])有Δ[i]E[/i]_1的相差: Δ[i]E[/i]_1 = [i]E[/i]_1 - [i]E_o[/i] = [b]7/16*[i]E_o[/i][/b].
Δ[i]E[/i]_2為相同數值. 因此平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.4375*[i]E_o[/i][/b].

[b]另一情況:[/b]
若一個電子在能層[i]n[/i]=1而另一個電子在能層[i]n[/i]=2...
[attach]8163977[/attach]
[indent][color=#ff0000][b]補註(3):[/b]
若再深究一點, 可以參考一下小弟之前推導的"[b]重力學殼層定理基本關係初探[/b], [url=http://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27147372&extra=page%3D5]http://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27147372&extra=page%3D5[/url]". 這裡我們考慮的雖然不是重力, 但是羅輯關係是一樣的. 因為電子以高速圍繞核心轉動, 粗看可以考慮成一個電子"[b]殼層[/b]".
相對於能層[i]n[/i]=1的電子, 能層[i]n[/i]=2的電子靠外, 所以沒有造成有效的排斥力.
但是相對於能層[i]n[/i]=2的電子, 能層[i]n[/i]=1的電子靠內, 我們可以把這個電子看成在原子核的位置(旋轉中心)以考慮其排斥作用.[/color][/indent][indent][b][color=#ff0000]補註(4):[/color][/b]
[color=#ff0000]若考慮能層[i]n[/i]=1的電子, 電子的排斥力為[i]Z[/i]'/(2*[i]r[/i]_12). 能層[i]n[/i]=2的電子靠外, 可以忽略. 因此, 這個電子能量估計為: -[b](1)^2*[/b][i]Z[/i]^2*mu/(2[i]ћ[/i]^2)/[b](1)[/b]^2 = -[i]E_o. [/i]因此, [b]Δ[i]E[/i]_1 = 0[/b][/color][i][color=#ff0000].[/color][/i][color=#ff0000]若考慮能層[i]n[/i]=2的的電子, 層[i]n[/i]=1的電子[/color][color=#ff0000]靠內[/color][color=#ff0000], 我們可以考慮這個電子在原子中心([i]r[/i]_12 = [i]r[/i])[i].[/i] 因此, 這個電子能量估計為: -[/color][b][color=#ff0000](1-1/2)^2*[/color][/b][color=#ff0000][i]Z[/i]^2*mu/(2[i]ћ[/i]^2)/[b](2)[/b]^2 = -1/16*[/color][i][color=#ff0000]E_o. [/color][/i][color=#ff0000]因此, [b]Δ[i]E[/i]_2 = 15[/b][/color][color=#ff0000][b]/16*[/b][/color][color=#ff0000][b][i]E_o[/i][/b][i].[/i][/color][/indent]Δ[i]E[/i]_1 = 0; 而Δ[i]E[/i]_2 = 15/16 * [i]E_o[/i],
因此平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.4688*[i]E_o[/i][/b], 比起第一情況的能量要高.

因此, Helium原子在ground state應是總電子能量最低的可能狀態, 即有兩個電子在能層[i]n[/i]=1的軌域內.

這個推論是小弟自己想出來的, 所以應該是錯的. 還請指教.

小弟再比較電子的ground state和first excited state的能量水平如下. 忽略電子排斥會估計出過低的水平, 但此帖的方法會高估其水平, 也不好...
[attach]8162856[/attach]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 02:08 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-10 10:03 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-7 14:22 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478123591&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
另外, 想請教一下大家. 為何一個orbital中只有兩個電子?
例如, 為甚麼Helium有兩個電子在1s, 而不是一個在1s而另一個在2s?
又例如, 為甚麼Lithium有兩個電子在1s一個電子在2s而不是其他組合?
謝謝. [/quote]
小弟繼續將帖#037的[b]錯誤[/b]想法繼續想下去...
若考慮Lithium, 每個電子的Schrodinger公式為:
[attach]8134164[/attach]
當中的[i]Z'[/i] = [i]Z[/i]/3.

其中的三個電子位置的可能性可以是:
[attach]8133373[/attach]
左圖的三個電子都在能層[i]n[/i]=1的軌域[[i]r_[/i]12=[i]r_[/i]13=[i]r_[/i]23=sqrt(3)[i]r[/i]], 所以平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]~0.85*[i]E_o[/i][/b].[indent][b][color=#ff0000]補註:[/color][/b]
[color=#ff0000]因為三個電子都在同一個軌域, 我們假設它們的徑向位置都一樣, 好像它們都在同一個圓球的表面. 如此的話, 它們"互相最遠的距離"便是如上左圖般形成一個等邊三角形.[/color][/indent]右圖的兩個電子在能層[i]n[/i]=1的軌域(Δ[i]E[/i]_1 = Δ[i]E[/i]_2 = 0.3056*[i]E_o[/i])和一個電子的能層[i]n[/i]=2的一個軌域(Δ[i]E[/i]_3 = 0.9931*[i]E_o[/i]), 其平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]~0.4329*[/b][i][b]E_o[/b].[/i]

[u]因此, Lithium原子在ground state應是總電子能量最低的可能狀態, 即有兩個電子在能層[i]n[/i]=1的軌域內和一個電子在能層[i]n[/i]=2的軌域內.[/u]

以後, 小弟才找到原來有Hartree-Fock理論([url=http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node4.html]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node4.html[/url])來計算電子排斥的電量值, 以及電子在不同原子orbitals的分佈, 而且非常準確. 因此小弟在上帖#037的[b]沒根據[/b]假設並不正確...

胡思亂想沒有用, 不過最少我說服了自己:
[u][b]一個orbital內最多存有兩個電子, 可能並不是單純因為Pauli exclusion principle, 而是因為"orbital內最多存有兩個電子"的分佈才能令電子的總能量最少化.[/b][/u]
(雖然此兩帖是錯誤的推論, 但是至少是自己想出了一個粗糙的解釋.)

謝謝大家花時間閱讀.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 12:14 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-11 08:33 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-8 17:35 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478194074&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
其實係可以 Excited state 吧
Ground state 的electron placement 由aufbau principle 決定 [/quote]
Multi-electron的原子Schrodinger方程要簡化(忽略電子排斥)後才能在數學上解出.
小弟在帖#037和#038嘗試不忽略電子排斥, 而作個簡單估計, 我們大概可以初步看出"最多兩個電子在同一個軌域"是因為ground state是採取最低能量的"electron placement"組合.
另外, 其實Hartree-Fock方法可以精確計算出"電子排斥"的能量, 而這個連結([url=http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node4.html]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/adv.chem/lectures/lecture_9/node4.html[/url])更是明確指出:
"This theory motivates the so-called "aufbau'' principle for expressing/building up electron configurations in atoms."
因此, Hartree-Fock方法可以反映出aufbau principle.

再次感謝Zzlaz之前點出重要概念, 以令小弟對當中的理解加深了.

Zzlaz 2018-4-12 01:25 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-11 08:33 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478377502&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Multi-electron的原子Schrodinger方程要簡化(忽略電子排斥)後才能在數學上解出.
小弟在帖#037和#038嘗試不忽略電子排斥, 而作個簡單估計, 我們大概可以初步看出"最多兩個電子在同一個軌域"是因為ground state是採 ... [/quote]


Hartree Fock 用的係數學方法
variation theorem

From wiki
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E5%8F%98%E5%88%86%E5%8E%9F%E7%90%86

假設你想計算一個哈密頓量為H的體系的基態能量Egs,換句話說,已經知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛丁格方程式來找出波函數,可以任意猜測一個歸一化的波函數,比如說φ,結果是根據猜測的波函數得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。換言之:

xianrenb 2018-4-12 09:01 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-10 10:03 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478317481&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

小弟繼續將帖#037的錯誤想法繼續想下去...
若考慮Lithium, 每個電子的Schrodinger公式為:
8134164
當中的Z' = Z/3.

其中的三個電子位置的可能性可以是:
8133373
左圖的三個電子都在1s軌域[r_12=r_13=r_23= ... [/quote]

老實說,基本上我完全看不明上面那些算式代表什麼及如何演化出來。
雖然我估計那可能是正確或至少是部份正確的式子。
但這樣跳 step 算,基本上外人,特別是無這方面訓練的人(如我),根本無法知道真偽,亦無助學習。

而這個情況,我發現在物理方面是特別多的。
就算是 Wikipedia 上都如此。

如果是陰謀論的看法,就是物理學有部份的學說,根本是假的。
不過因為有太多難以理解的式子,常人根本無法辨別真偽。
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_constant_problem]https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_constant_problem[/url]
[quote]...Depending on the Planck energy cutoff and other factors, the discrepancy is as high as 120 orders of magnitude,[1] a state of affairs described by physicists as "the largest discrepancy between theory and experiment in all of science"[1] and "the worst theoretical prediction in the history of physics."[2]...[/quote]

rhwlam 2018-4-12 10:49 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-12 09:01 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478402175&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
老實說,基本上我完全看不明上面那些算式代表什麼及如何演化出來。
雖然我估計那可能是正確或至少是部份正確的式子。
但這樣跳 step 算,基本上外人,特別是無這方面訓練的人(如我),根本無法知道真偽,亦無助學習。 [/quote]
謝謝回應. 小弟也是"無這方面訓練的人"... :smile_o03:  
可否點出哪些地方需要攺寫得詳細一點? 以後有時間我會修攺的. 我也希望大家能看懂我在寫甚麼.
謝謝!

rhwlam 2018-4-12 12:41 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-12 01:25 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478392489&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
Hartree Fock 用的係數學方法 variation theorem:
假設你想計算一個哈密頓量為H的體系的基態能量Egs,換句話說,已經知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛丁格方程式來找出波函數,可以任意猜測一個歸一化的波函數,比如說φ,結果是根據猜測的波函數得到的哈密頓算符的期望值將會高於實際的基態能量。 [/quote]
謝謝回覆. 小弟又再跟Zzlaz學習了! :smile_o13:
這應該解釋了為何小弟在帖#037使用了[b]錯誤[/b]的電子排斥估計會導致過高的電子總能量的估值.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-12 04:19 PM 編輯 [/i]]

darigold 2018-4-12 02:11 PM

關於點解一個 orbital 只能有兩粒電子,我諗答案應該係 Pauli Exclusion Principle。
同一 set Quantum numbers 只能有一粒,Fermion statistics。

我查過下,好多書/lecture講下講下就開始含糊其詞,或者說下個 course 教等等。

我睇主要原因係因為真係要證 Pauli Exclusion Principle,要用到 Dirac's Equation。
超出左 introductory quantum mechanics的範圍。

LT3648 2018-4-12 03:25 PM

一個 orbital 只能有兩粒電子,應該因為一粒+0.5自旋電子要加一粒-0.5自旋電子,總自旋數=0 才stable:系統角動量守恆或對稱。

wiki
根據包立不相容原理、一原子中的電子不能有同一量子數,若電子要留在同一分子軌道中(主量子數、角量子數、磁量子數一致),需改變其自旋量子數。電子為費米子,其自旋為 -1/2 或 +1/2 ,因此一分子軌道中只能有一對電子。

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-4-12 04:02 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-12 04:13 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-12 09:01 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478402175&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
老實說,基本上我完全看不明上面那些算式代表什麼及如何演化出來。
雖然我估計那可能是正確或至少是部份正確的式子。
但這樣跳 step 算,基本上外人,特別是無這方面訓練的人(如我),根本無法知道真偽,亦無助學習。 [/quote]
小弟在帖#037加上了幾個註解, 希望現在表達得清楚一點.
另外, 帖#038也是以類似思路將電子的能量估計出來. 如xianrenb兄覺得有必要的話, 小弟也可以把註解補上.
謝謝.

Zzlaz 2018-4-12 10:07 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-12 12:41 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478413467&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝回覆. 小弟又再跟Zzlaz學習了! :smile_o13:
這應該解釋了為何小弟在帖#037使用了錯誤的電子排斥估計會導致過高的電子總能量的估值. [/quote]


當涉及數學 我只要知結果就算:smile_o03:

我都唔多識格 得番好少記憶
只能比些Puzzle :lDD_004:

rhwlam 2018-4-13 12:30 AM

[quote]原帖由 [i]darigold[/i] 於 2018-4-12 14:11 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478418032&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
關於點解一個 orbital 只能有兩粒電子,我諗答案應該係 Pauli Exclusion Principle。同一 set Quantum numbers 只能有一粒,Fermion statistics。
我查過下,好多書/lecture講下講下就開始含糊其詞,或者說下個 course 教等等。[/quote]
我也覺得很多教材在這個問題上都是蜻蜓點水. 老實說, 小弟在學習到這裡時有點正在被哄被騙的感覺, 只怪小弟領悟力不足了...[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-12 15:25 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478422014&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
一個 orbital 只能有兩粒電子,應該因為一粒+0.5自旋電子要加一粒-0.5自旋電子,總自旋數=0 才stable:系統角動量守恆或對稱。[/quote]
再次謝謝darigold兄和LT3648兄賜教! 我深信也認同你們是對的.
我只是想分享一下之前想到的推論 (雖然明知是錯的...). :smile_13:

darigold 2018-4-14 02:35 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-13 12:30 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478448270&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
小弟在學習到這裡時有點正在被哄被騙的感覺[/quote]

說得好啊 …… 我也有這樣的感覺。

rhwlam 2018-4-17 03:28 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-10 22:03 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478317481&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
若考慮Lithium, 每個電子的Schrodinger公式為...[/quote]
小弟繼續將帖#038的[b]錯誤[/b]想法繼續想下去...
如果單單以帖#037和#038的想法來想, 雖然可以說服自己在[i]n[/i]=1電子能層的軌域最多只可以容納2個電子, 但是對於[i]n[/i]>1的其他能層就沒有甚麼說服力了.
其中一個問題是在[i]n[/i]>1是能層中會存在多於一個軌域. 以[i]n[/i]=2能層為例, 會有四個軌域: ([i]l[/i]=0, [i]m[/i]=0), ([i]l[/i]=1, [i]m[/i]=-1), ([i]l[/i]=1, [i]m[/i]=0)和([i]l[/i]=1, [i]m[/i]=1).

以下, 我們繼續考慮beryllium(原子數: 4). Beryllium的電子組合可以看成是lithium多加一粒電子, 可能有以下4種可能:
(1) 電子加在[i]n[/i]=1層,
(2) 電子加在[i]n[/i]=2層與另一電子在同一軌域,
(3) 電子加在[i]n[/i]=2層與另一電子在不同軌域(以不同顏色表示), 以及
(4) 電子力在[i]n[/i]=3層.
[attach]8162565[/attach]

[b]情況(1):[/b]
在能層[i]n[/i]=1的三個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.6785*[i]E_o.[/i]
在能層[i]n[/i]=2的一個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.9844*[i]E_o.[/i]
所以, 平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.7617*[i]E_o.[/i][/b]

[b]情況(2):[/b]
在能層[i]n[/i]=1的兩個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.2344*[i]E_o.[/i]
在能層[i]n[/i]=2的兩個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.9648*[i]E_o.[/i]
所以, 平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.5966*[i]E_o.[/i][/b]

[b]情況(3):[/b]
在能層[i]n[/i]=1的兩個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.2344*[i]E_o.[/i]
在能層[i]n[/i]=2的兩個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.9648*[i]E_o.[/i][indent][color=#ff0000][b]補註(1):[/b]
除了以上的一個情況, beryllium的其他電子能量都可以利用[b]帖#037[/b]和[b]#038[/b]的方法計算出來.
這兩個電子雖然在不同軌域, 但是其層能和Bohr半徑應該一樣. 因此我們大概假設總作用為"電子靠外"與"電子靠內"兩個情況的平均值. (如以數值來看, 結果跟情況(2)相同.)[/color][/indent]所以, 平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.5966*[i]E_o.[/i][/b]

[b]情況(4):[/b]
在能層[i]n[/i]=1的兩個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.2344*[i]E_o.[/i]
在能層[i]n[/i]=2的一個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.9735*[i]E_o.[/i]
在能層[i]n[/i]=3的一個電子: 電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的~0.9931*[i]E_o.[/i]
所以, 平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.6089*[i]E_o.[/i][/b]

因此, 情況(2)或(3)是beryllium可能的電子組合. [u]仍然是保持每一個電子軌域最多只有個兩個電子.[/u]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 06:43 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-4-17 07:03 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-17 03:28 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478701799&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

小弟繼續將帖#038的錯誤想法繼續想下去...
如果單單以帖#037和#038的想法來想, 雖然可以說服自己在n=1電子能層的軌域最多只可以容納2個電子, 但是對於n>1的其他能層就沒有甚麼說服力了.
其中一個問題是在n>1是能 ... [/quote]


建議看看此片:

Electron Configuration
[url=https://www.youtube.com/watch?v=2AFPfg0Como]https://www.youtube.com/watch?v=2AFPfg0Como[/url]

rhwlam 2018-4-17 11:24 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-17 19:03 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478714106&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
建議看看此片:
Electron Configuration
[url=https://www.youtube.com/watch?v=2AFPfg0Como]https://www.youtube.com/watch?v=2AFPfg0Como[/url] [/quote]
謝謝這個資料!
其實小弟想嘗試探討"為甚麼"每個軌域只有兩個電子, 所以小弟試以helium(#037), lithium(#038)和beryllium(#050)作為例子演示以"電子能量"的角度看出軌域的電子數.
當然, 這個還不配是證明(而且電子自旋spin根本從來沒考慮過, 所以應該是[b]錯誤[/b]的), 但小弟只是想至少以此過程說服自己而已...
之後幾天小弟會再計算Florine和Neon的電子能量, 再檢查它們是否仍能保持"每個軌域只有最多兩個電子".

[b]另外, 若有網友覺得任何一帖表達不夠清楚, 歡迎告知/發問, 小弟會盡量回答和改善之前的帖的內容. 謝謝![/b]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 06:31 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-18 10:09 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-17 23:24 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478728461&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
之後幾天小弟會再計算Florine和Neon的電子能量, 再檢查它們是否仍能保持"每個軌域只有最多兩個電子".
[b](若果有網友可以幫忙計算, 省去小弟的一些時間, 萬分感激! 當中的要點應該在帖#037, #038和#050都說明了.)[/b] [/quote]

小弟會只考慮Florine的兩個可能:
[attach]8166897[/attach]
[b]註:[/b] "新加上"的電子以黃色表示. 在[i]n[/i]=2能層的一個軌域中的電子會是相同顏色.

[b](A1)[/b] 電子加在[i]n[/i]=2能層, 與當中的[b][u]兩個[/u][/b]已存電子分享同一個軌域
[indent]能層[i]n[/i]=1的兩個電子: Δ[i]E [/i]= (1-(1-1/9/2)^2)*[i]E_o[/i] = [b]0.108*[/b][i][b]E_o[/b][/i]
能層[i]n[/i]=2在同一軌域的三個的電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/9-2/9/sqrt(3)-4/9/2)^2/4*[i]E_o[/i] = [b]0.9544*[i]E_o[/i][/b]
能層[i]n[/i]=2的其他四個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/9-6/9/2)^2/4*[i]E_o[/i] = [b]0.9506*[i]E_o[/i][/b][u]
其平均每一電子的能量是在-[i]E_o[/i]以上的[b]0.7646*[i]E_o[/i][/b].[/u][/indent][b](A2)[/b] 電子加在[i]n[/i]=2能層, 與當中的[b][u]一個[/u][/b]已存電子分享同一個軌域
[indent]能層[i]n[/i]=1的兩個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-1/9/2)^2*[i]E_o[/i] = [b]0.108[i]*E_o[/i][/b].
能層[i]n[/i]=2的七個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/9-6/9/2)^2/4*[i]E_o[/i] = 0.9506[b][i]*E_o[/i][/b].
[u]其平均每一電子的能量是在[/u][u]-[i]E_o[/i][/u][u]以上的[/u][b][u]0.7634*[i]E_o[/i][/u][/b][u].[/u][/indent]
小弟會只考慮Neon的兩個可能:
[attach]8166898[/attach]
[b]註:[/b] "新加上"的電子以黃色表示. 在[i]n[/i]=2能層的一個軌域中的電子會是相同顏色.

[b](B1)[/b] 電子加在[i]n[/i]=2能層, 與當中的[b][u]兩個[/u][/b]已存電子分享同一個軌域
[indent]能層[i]n[/i]=1的兩個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-1/10/2)^2*[i]E_o[/i] = [b]0.0975[i]*E_o[/i][/b].
能層[i]n[/i]=2在同一軌域的三個的電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/10-2/10/sqrt(3)-5/10/2)^2/4*[i]E_o[/i] = [b]0.9528[i]*E_o[/i][/b].
能層[i]n[/i]=2的五個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/10-7/10/2)^2/4*[i]E_o[/i] = [b]0.9494[i]*E_o[/i][/b].
[u]其平均每一電子的能量是在[/u][u]-[i]E_o[/i][/u][u]以上的[/u][b][u]0.78*[i]E_o[/i][/u][/b][u].[/u][/indent][b](B2)[/b] 電子加在[i]n[/i]=2能層, 與當中的[b][u]一個[/u][/b]已存電子分享同一個軌域
[indent]能層[i]n[/i]=1的兩個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-1/10/2)^2*[i]E_o[/i] = [b]0.0975[i]*E_o[/i][/b].
能層[i]n[/i]=2的八個電子: Δ[i]E[/i] = 1-(1-2/10-7/10/2)^2/4*[i]E_o[/i] = [b]0.9494[i]*E_o[/i][/b].
[u]其平均每一電子的能量是在[/u][u]-[i]E_o[/i][/u][u]以上的[/u][b][u]0.779*[i]E_o[/i][/u][/b][u].[/u][/indent]以上的兩個例子也顯示出三個電子在同一軌域會導至更高的電子能量. 至此, 我們考慮過的例子仍然能保持每一個電子軌域中[u]最多只有個兩個電子.[/u]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 09:03 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-4-18 08:49 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-18 10:09 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478744273&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


小弟會只考慮Florine的兩個可能:
8166897
註: "新加上"的電子以黃色表示. 在n=2能層的一個軌域中的電子會是相同顏色.

(A1) 電子加在n=2能層, 與當中的兩個已存電子分享同一個軌域
電層n=1的兩個電子: ΔE ... [/quote]


建議可參考此片電子填入各軌道的次序:

[url=https://www.youtube.com/watch?v=P2IsIkSn5bk]https://www.youtube.com/watch?v=P2IsIkSn5bk[/url]

rhwlam 2018-4-18 08:56 PM

根據之前帖#037, #038, #050和#053, 希望大家能開始相信單看電子能量(而不考慮Pauli exclusion principle)都可以看出"一個軌域最多只可以有兩個電子".


數學謎題又來了! :smile_o13:

[b]問題: [/b]
請考慮一個原子的能層[i]n[/i]存在著子能層[i]l[/i] = 0, 1, 2, ..., [i]n[/i]-1. 而每個子能層[i]l[/i]會有2[i]l[/i]+1個軌域(即[i]m[/i] = -[i]l[/i], -[i]l[/i]+1, ..., -1, 0, 1, ..., [i]l[/i]-1, [i]l[/i]). 每個軌域只能容納最多兩個電子. 那麼能層[i]n[/i]最多能有多少個電子?
([b]請不要網上找答案, 謝謝![/b])

rhwlam 2018-4-18 09:01 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-18 20:49 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478778282&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
建議可參考此片電子填入各軌道的次序:
[url=https://www.youtube.com/watch?v=P2IsIkSn5bk]https://www.youtube.com/watch?v=P2IsIkSn5bk[/url] [/quote]
謝謝LT3648兄的資料補充! :smile_o12:

LT3648 2018-4-18 09:27 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-18 09:01 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478778932&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝LT3648兄的資料補充! :smile_o12: [/quote]


有無留意片中電子填入p-orbital時側埋一邊,觀感上總覺得有點不太平衡。:P

rhwlam 2018-4-18 09:38 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-18 21:27 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478780393&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
有無留意片中電子填入p-orbital時側埋一邊,觀感上總覺得有點不太平衡。:P [/quote]
如果認真來看, 這個影片其實有點錯誤.
以下這個影片對於Gryzinski's模型描述電子在不同軌域中的移動才算是比較正確:
[url]https://www.youtube.com/watch?v=IlkY-HtjrkA[/url]
無論如何, 其實Gryzinski's模型應還未被證實.

LT3648 2018-4-18 09:54 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-18 09:38 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478781098&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果認真來看, 這個影片其實有點錯誤.
以下這個影片對於Gryzinski's模型描述電子在不同軌域中的移動才算是比較正確:
[url=https://www.youtube.com/watch?v=IlkY-HtjrkA]https://www.youtube.com/watch?v=IlkY-HtjrkA[/url]
無論如何, 其實Gryzinski's模型應還未被證實 ... [/quote]

當然,電子的真實運動路徑是看不到的。但你套片問題仲嚴重,好像一粒電子走晒每個orbital。

在下套片只建議你參考[color=Blue]電子填入各軌道的次序[/color]而已。

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-4-18 10:22 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-18 10:57 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-18 21:54 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478782061&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
當然,電子的真實運動路徑是看不到的。但你套片問題仲嚴重,好像一粒電子走晒每個orbital。
在下套片只建議你參考電子填入各軌道的次序而已。 [/quote]
小弟明白LT33648的意思了. 之前有所誤解. 非常謝謝!
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查看完整版本: 原子中電子軌域(orbital)的計算