查看完整版本 : 原子中電子軌域(orbital)的計算

rhwlam 2018-4-19 11:32 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-18 20:56 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478778669&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
根據之前帖#037, #038, #050和#053, 希望大家能開始相信單看電子能量(而不考慮Pauli exclusion principle)都可以看出"一個軌域最多只可以有兩個電子".[/quote]

[b]問題: [/b]
請考慮一個原子的能層[i]n[/i]存在著子能層[i]l[/i] = 0, 1, 2, ..., [i]n[/i]-1. 而每個子能層[i]l[/i]會有2[i]l[/i]+1個軌域(即[i]m[/i] = -[i]l[/i], -[i]l[/i]+1, ..., -1, 0, 1, ..., [i]l[/i]-1, [i]l[/i]). 每個軌域只能容納最多兩個電子. 那麼能層[i]n[/i]最多能有多少個電子?
[b]
小弟想法:[/b]
在[i]n[/i]電層的電子為
[attach]8172364[/attach]
這與Bohr's model描述的在一個量子數[i]n[/i]能層中會有最多2[i]n[/i]^2個電子的結果一樣.


謝謝閱讀.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-19 11:28 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-20 12:05 AM

[quote]原帖由 [i]sylim[/i] 於 2018-3-12 23:36 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476750999&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
你有沒有留意 所有量子數都是整數? [/quote]
[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-5 00:58 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=477989676&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
而且對於Multi electrons system Schrodinger equation 應是無法解的 要Approximation
Ground state 的electron placement 由aufbau principle 決定  [/quote]
[quote]原帖由 [i]darigold[/i] 於 2018-4-12 14:11 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478418032&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
關於點解一個 orbital 只能有兩粒電子,我諗答案應該係 Pauli Exclusion Principle。
同一 set Quantum numbers 只能有一粒,Fermion statistics。 [/quote]
[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-8 20:49 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478204502&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
Spherical coordinate system 下的算式 [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system]https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system[/url][/quote][quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-4-18 21:54 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478782061&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
一個 orbital 只能有兩粒電子,應該因為一粒+0.5自旋電子要加一粒-0.5自旋電子,總自旋數=0 才stable:系統角動量守恆或對稱。
在下套片只建議你參考電子填入各軌道的次序而已。 [/quote]
再次感謝大家的無私賜教!
小弟在學習Schrodinger equation電子軌域的計算獲益良多, 尤其在近兩星期的理解好像又深入了一點.
[u]帖#003的問題也更新了, 多加了兩題(12和13).[/u]

更深入的理解可能不得不靠繼續學習電子的自旋(spin)和其他更高階的知識, 才得再有大得著.
然而, 小弟能力有限、精力也有限...
此帖大概告一段落了. :smile_o07:

rhwlam 2021-1-9 11:22 AM

過了一段日子, 稍有更深入理解.

一個軌域只能有兩個電子(問題#12), 更精確的計算方法為Hartree product ([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree_equation).]https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree_equation).[/url]
而Stern–Gerlach experiment ([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment]https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment[/url])告訴我們若一個電子在一個軌域會有兩個states, 但兩個電子在同一軌域就只有一種可能(即兩個電子各佔一個不同的state, 即spin), 這就是所謂的Pauli exclusion principle.
根據Pauli exclusion principle, 我們可建構Slater determinants以分辨出同一軌域中的兩個不同電子.
利用Hartree-Fork method ([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree%E2%80%93Fock_method)和Slater]https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree%E2%80%93Fock_method[/url])和Slater determinants, 我們就可以計算出不同原子數的原子的電子在不同軌域中的分佈, 當中包括Aufbau principle和Madelung rule.

感覺終於搞清楚了.
豁然開朗.

Porky_Pig 2021-1-14 10:34 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2021-1-9 11:22 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530089104&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
過了一段日子, 稍有更深入理解.

一個軌域只能有兩個電子(問題#12), 更精確的計算方法為Hartree product (https://en.wikipedia.org/wiki/Hartree_equation).
而Stern–Gerlach experiment (https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Gerlach_experiment)告訴我們若一個電子在一個軌域會有兩個states, [/quote]
恭喜恭喜!
但、其實攪明白了甚麼?
為甚麼是量子?答案是:不知道!
為甚麼有某些量子數?有某些量子規則?答案是:不知道!
很多時學生們倒因為果。實際上我們走過的路是:假如有這些規則,我們便可以解釋一些觀察到的事。但要解釋為何有這些規則,我們其實沒有解釋。所有的計算都是證明這些規則存在是合理的。
你在學的是Wave mechanics,最早寫出來時Schrodinger根本不知如何去理解他自己寫了甚麼,但剛好他的equation(對於氫)能找出數學解,最後他才想出以機率去解釋。其實,對於氫原子以外的所有wave equations我們都是解不了,不必試!
Quantum mechanics有另一度門叫Matrix mechanics,你也可以試打開來看看。
Quantum mechanics的數學當然不易,但最難的是物理學上如何去看它。
當我們有波,有共振,自然地會產生一些限制,這些限制便是各種的量子數字。但為何是波、共振等?我們不知道!
記得從前高中時,也忘了甚麼原因,老師教解Schrodinger的偏微分方程,並不困難,很快便解完說完,當時很高興。但老實說,到了今天,我仍未敢說明白數學上的東西,背後完全的物理意義。
當年,Rutherford證明了原子中絕大部分都是虛空,但今天物理學家更說,中子、質子內更空虛,大部分的質量更幾乎是無中生有的。
今天的物理學就是如此,一大堆數學演算,然後大家一起搔頭,如何去理解這些演算結果。
只有一些如愛恩斯坦之流,反其道而行,想好了東西,才去找數學來進行演算,一早已知演算結果代表甚麼。
順帶一提,按目前理解,黑洞中Pauli的exclusion principle是無效的,這是說有些更基本的東西我們仍未明白。

Zzlaz 2021-1-16 08:09 AM

[quote]原帖由 [i]Porky_Pig[/i] 於 2021-1-14 10:34 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530322697&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

恭喜恭喜!
但、其實攪明白了甚麼?
為甚麼是量子?答案是:不知道!
為甚麼有某些量子數?有某些量子規則?答案是:不知道!
很多時學生們倒因為果。實際上我們走過的路是:假如有這些規則,我們便可以解釋一些觀察到的事。但要解釋為何有這些規則,我們其實沒有解釋。所有的計算都是證明這些規則存在是合理的。
你在學的是Wave mechanics,最早寫出來時Schrodinger根本不知如何去理 ... [/quote]
你呢個問題係
數學係物理學係咩角色

量子數 量子規則 係方程的可行解 佢顯示左唔同的波函數同埋個能量等級
於是就有
Aufbau principle
Hund's rule
Pauli exclusion principle

呢3招教你點排好d elecrons

xianrenb 2021-1-16 10:48 AM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-16 08:09 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530374770&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

你呢個問題係
數學係物理學係咩角色

量子數 量子規則 係方程的可行解 佢顯示左唔同的波函數同埋個能量等級
於是就有
Aufbau principle
Hund's rule
Pauli exclusion principle

呢3招教你點排好d elecrons [/quote]
雖然我試過一些相關計算,但其實我本身無正式學過相關知識,對正統說法只知道個大概。

不過扯開一點說,以我所知的正統學說中,關於電子在原子中分佈的理論,應該是根據多重規則。
即是存在有多種規則,按重要性分先後次序來考慮。
就是使用一種規則後,再考慮新一種規則的效果,作出修正。
某程度上就像 neural network 一樣,可以是 sub-network 得出結果後,不夠準確/正確,就又再加一層 layer 來對結果修正,得出新結果。
以這個角度看,無論 neural network 每層 layer 是基於甚麼基本準則,只要每層都能降低 error ,用足夠多的層數就一定可以得出非常近似的結果。
但這樣的理論架構,是否真的有意義呢?

Zzlaz 2021-1-16 12:09 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-16 10:48 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530378380&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

雖然我試過一些相關計算,但其實我本身無正式學過相關知識,對正統說法只知道個大概。

不過扯開一點說,以我所知的正統學說中,關於電子在原子中分佈的理論,應該是根據多重規則。
即是存在有多種規則,按重要性分先後次序來考慮。
就是使用一種規則後,再考慮新一種規則的效果,作出修正。
某程度上就像 neural network 一樣,可以是 sub-network 得出結果後,不夠準確/正確, ... [/quote]
[img]http://pages.swcp.com/~jmw-mcw/spdf%20electron%20orbital%20models%20-%20inverted%20pyramidal%20stacking%20chart.jpg[/img]
[url=https://zh.wikipedia.org/wiki/G%E8%BB%8C%E5%9F%9F]https://zh.wikipedia.org/wiki/G%E8%BB%8C%E5%9F%9F[/url]
(理論, 元素週期表都未有g-block elements)


量子物理D 數好難.:smile_13:
我大約知個規則only

電子肯定係按energy level 排..
印象中個規則先後係Aufbau, Pauli exclusion, Hund

Aufbau principle 係最基本, 用principal quantum number/electron shell n ,同subsidiary quantum number l決定orbitals energy levelmagnetic quantum number 決定degenerate orbitals數

electron 係fermion, 無可能兩粒電子有齊same set of quantum number
=> spin quantum number must be different, i.e. opposite direction +1/2, -1/2 for fermions

[color=#ff0000]"The common idea that "matter takes up space" actually comes from the Pauli exclusion principle acting on these particles to prevent the fermions from being in the same quantum state. "[/color]

最後係maximum of spin multiplicity has lowest energy level => 先 single up後pair
Hund's rule

就算同一個e configuration, 佢都可能有幾set 排法. Hund's rule指出ground state排法原則
[url=https://chem.libretexts.org/Courses/Pacific_Union_College/Quantum_Chemistry/08%3A_Multielectron_Atoms/8.08%3A_Term_Symbols_Gives_a_Detailed_Description_of_an_Electron_Configuration]https://chem.libretexts.org/Courses/Pacific_Union_College/Quantum_Chemistry/08%3A_Multielectron_Atoms/8.08%3A_Term_Symbols_Gives_a_Detailed_Description_of_an_Electron_Configuration[/url]

xianrenb 2021-1-16 02:59 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-16 12:09 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530380888&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

http://pages.swcp.com/~jmw-mcw/spdf%20electron%20orbital%20models%20-%20inverted%20pyramidal%20stacking%20chart.jpg
https://zh.wikipedia.org/wiki/G%E8%BB%8C%E5%9F%9F
(理論, 元素週期表都未有g-block elements) ... [/quote]
其實 orbital 是否一定要對稱?
例如說,如果 n = 50,000 ,能否見到對稱的電子活動範圍?

Zzlaz 2021-1-17 02:36 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-16 02:59 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530386588&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

其實 orbital 是否一定要對稱?
例如說,如果 n = 50,000 ,能否見到對稱的電子活動範圍? [/quote]
應該係數學函數導致對稱性

50000唔可能

用番高中化學
1 因為每層可以裝到2n^2的電子
2 隨著層數愈多 層與層之間能階差異愈細

rhwlam 2021-1-18 03:34 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-16 14:59 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530386588&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

其實 orbital 是否一定要對稱?
例如說,如果 n = 50,000 ,能否見到對稱的電子活動範圍? [/quote]
Zzlaz列出的orbitals 其實是#1計算出的不同n,l,m的wave function對應的三維分佈. 某一個orbital所顯示的三維區域大概是其對應wave functions的linear combination的absolute value大於某個臨界值。

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2021-1-20 06:37 PM 編輯 [/i]]

Zzlaz 2021-1-18 08:58 AM

orbital 定義 normalized probability density |ψ|^2 下共佔95%範圍


:smile_13:
類似normal distribution 下2SD 內的面積範圍的概念

rhwlam 2021-1-18 11:03 AM

An atomic orbital is a mathematical function describing the location and wave-like behavior of an electron in an atom. This function can be used to calculate the probability of finding any electron of an atom in any specific region around the atom's nucleus.

The term atomic orbital may also refer to the physical region or space where the electron can be calculated to be present, as predicted by the particular mathematical form of the orbital.


[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/58/Neon_orbitals.png/440px-Neon_orbitals.png[/img]
The shapes of the first five atomic orbitals are: 1s, 2s, 2px, 2py, and 2pz. The two colors show the phase or sign of the wave function in each region. Each picture is domain coloring of a ψ(x, y, z) function which depend on the coordinates of one electron.


Source:
[url=https://en.m.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital]https://en.m.wikipedia.org/wiki/Atomic_orbital[/url]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2021-1-18 01:49 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2021-1-18 01:46 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-17 02:36 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530426239&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

應該係數學函數導致對稱性

50000唔可能

用番高中化學
1 因為每層可以裝到2n^2的電子
2 隨著層數愈多 層與層之間能階差異愈細 [/quote]
n = 1 與 n = 50000 ,在算式上,有什麼本質上的分別?
我的理解是無分別。
而 r 與 n 相關。
r 越大,則 n 越大,反之亦然。
在我看來,一粒 free electron 的 r 或 n = +oo 。
這樣理解是否正確?

Zzlaz 2021-1-18 03:35 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-18 01:46 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530469384&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

n = 1 與 n = 50000 ,在算式上,有什麼本質上的分別?
我的理解是無分別。
而 r 與 n 相關。
r 越大,則 n 越大,反之亦然。
在我看來,一粒 free electron 的 r 或 n = +oo 。
這樣理解是否正確? [/quote]
[url]http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/eigen.html[/url]

[url]http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html#c1[/url]

第一個網站

The wavefunction for a given physical system contains the measurable information about the system.

呢句都係好神同唔明點解:smile_35:

rhwlam 2021-1-20 11:54 AM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-18 15:35 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530473639&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/eigen.html

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html#c1

第一個網站

The wavefunction for a given physical system contains the meas ... [/quote]
Because not all wavefunctions/orbitals are 'measurable'. We must apply an electromagnetic field to quantify for the possibility density distribution of the electrons, or other 'measurable' quantities. Once we do so, some orbitals will re-orient and align with the direction of the electromagnetic field, with a nonstop rotation about the vertical axis (the axis of the applied electromagnetic field). Recalling the figure of orbitals you posted as shown below, all the orbitals from the same type and set will re-orient and combine (as superposition) as the corresponding orbital with the same set as highlighted by the middle 'red' column. This means we can never distinguish the different orbitals of the same set by such measurements.

Therefore, not all the wavefunctions are measurable, but they contain the information of measurable quantities.

[img]https://cdn.discuss.com.hk/t/035f04/f/800x0/http://pages.swcp.com/~jmw-mcw/spdf%20electron%20orbital%20models%20-%20inverted%20pyramidal%20stacking%20chart.jpg[/img]

Zzlaz 2021-1-20 12:07 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2021-1-20 11:54 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530549845&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Because not all wavefunctions/orbitals are 'measurable'. We must apply an electromagnetic field to quantify for the possibility density distribution of the electrons, or other 'measurable' quantitie ... [/quote]
你講的例子係類似p orbital px, py,pz 果類degenerate orbitals係not distinguishable 吧?:smile_41:

我印象中都係數學公式決定有幾多種形態, 但你話邊個係px, py, 係pz 唔知.
有個quantum number叫magnetic quantum number, 用來描述different orientation of same type orbitals.

rhwlam 2021-1-20 06:43 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-20 12:07 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530550247&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

你講的例子係類似p orbital px, py,pz 果類degenerate orbitals係not distinguishable 吧?:smile_41:

我印象中都係數學公式決定有幾多種形態, 但你話邊個係px, py, 係pz 唔知.
有個quantum number叫magnetic quantum number, 用來描述different orientation o ... [/quote]
pz對應m=0. Px對應m=1和m=-1相加. Py應m=1和m=-1相減.

[url]https://www.quora.com/What-is-the-magnetic-quantum-number-of-Px-Py-and-Pz-orbitals-respectively[/url]

Zzlaz 2021-1-20 07:42 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2021-1-20 06:43 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530568221&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

pz對應m=0. Px對應m=1和m=-1相加. Py應m=1和m=-1相減.

https://www.quora.com/What-is-the-magnetic-quantum-number-of-Px-Py-and-Pz-orbitals-respectively [/quote]
你呢個似乎係advanced
[url]https://chemistry.stackexchange.com/questions/33645/what-are-the-magnetic-quantum-numbers-for-the-three-real-p-orbitals[/url]


因為我學係-l to +l
假設係2p orbitals

n =2
l =n-1 = 1 (0,1) 有s,p兩個subshell
幾多種 就from -l to l 加埋2l+1 隻
s就2(0)+1 =1 種 0
p就2(1)+1 =3種 -1,0,+1
d ...5 -2,-1,0,1,+1,+2
f...7

rhwlam 2021-2-12 07:12 PM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2021-1-20 19:42 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=530571119&ptid=27302602][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

你呢個似乎係advanced
https://chemistry.stackexchange.com/questions/33645/what-are-the-magnetic-quantum-numbers-for-the-three-real-p-orbitals


因為我學係-l to +l
假設係2p orbitals

n =2
l =n-1 = 1 (0,1) 有s,p兩個subs ... [/quote]
你說的由-l至l, 其實是quantum number m的值.
Wavefunctions 可轉換成orbitals.
就是+m和-m一對的wavefunctions可轉成兩個orbitals.

我之前的帖有計算Ψ(r, θ, φ) =R(r) x Θ(θ) x Ф(φ) 而  Ф(φ) = C x exp(jmφ).
所以n,l,m的wavefunction的complex conjugate 就是n,l,-m的wavefunction.

1/2 x ( Ψ(N,l,m) + Ψ(n,l,-m) ) = R(r) x Θ(θ) x C x cos(mφ)是一丫orbrital.

而1/2 x -j x ( Ψ(N,l,m) - Ψ(n,l,-m) ) = R(r) x Θ(θ) x C x sin(mφ)是另一個orbrital.

所以wavefunction和orbital的數目是一樣的.

rhwlam 2021-3-7 06:59 PM

最後, 我簡單以帖#1的wavefunction以電腦計算及顯示出兩個d orbitals為例子, 以作為這個主題的結尾.
[attach]12151370[/attach]
[attach]12151371[/attach]

黃昏忠心的遊艇 2021-3-16 07:40 PM

:smile_41:
頁: 1 2 [3]
查看完整版本: 原子中電子軌域(orbital)的計算