查看完整版本 : 原子中電子軌域(orbital)的計算

rhwlam 2018-3-12 12:30 AM

[attach]8052010[/attach]
這幾天小弟試從以上的Schrodinger方程([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation]https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation[/url])計算出氫原子的"擬靜態"波函數[i]Ψ[/i]([i][u]r[/u][/i]), 結果如下:
[attach]8060164[/attach]
當中看了很多影片和網上參考資料才勉強計算到. 過程中獲益良多.
之前小弟在網上看一些有關量子力學的科普介紹和初級大學筆記, 總是看不懂. 現在應該終於把大部份的相關概念都搞懂了.
另外, 小弟深深感受到科學家們神級的境界和遙不可及的智慧.

[b][color=#ff0000]若有網友覺得以下任何一帖表達不夠清楚, 歡迎告知/發問, 小弟會盡量回答和改善之前的帖的內容. 謝謝![/color][/b]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-18 09:09 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-12 09:47 AM

小弟有個壞習慣, 就是自己若沒有從比較基本的層面開始理解問題和當中的羅輯, 自己就很難認同和相信其知識.
小弟狂妄, 總感覺很多量子力學的入門資料好像都是單單將結果關係道出, 從沒提出解釋. 說得好像很容易, 但小弟怎樣也理解不了...

對於波函數的理解, 小弟會將可以透過計算波函數的過程中而埋解到的量子力學概念和關係列至以下帖#03.
當然, 列出的這些問題希望與大家一起討論.
也希望能順便藉此印證自己的看法.
謝謝大家.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-12 07:58 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-12 06:52 PM

小弟在此舉例出一些量子力學基本的關係和概念, 希望大家不嫌棄提出解釋和自己的見解. 先謝! :loveliness:

[b]01.[/b] [帖#012] 為甚麼量子數(quantum number) [i]m[/i]是整數?
[b]02.[/b] [帖#015] 為甚麼量子數(quantum number) [i]l[/i]是整數?
[b]03.[/b] [帖#017] 為甚麼量子數(quantum number) [i]n[/i]是整數?
[b]04.[/b] [帖#014] 為甚麼一個電子只有一個量子態([i]m[/i], [i]l[/i] 以及 [i]n[/i]; spin暫不考慮)?
[b]05.[/b] [帖#013] 為甚麼量子數(quantum number) [i]m[/i]會是只跟原子[i]z[/i]軸的電子角動量有關?
[b]06.[/b] [帖#016] 為甚麼量子數(quantum number) [i]l[/i]會是只跟電子總角動量有關?
[b]07.[/b] [帖#017] 為甚麼電子能量水平(electron energy levels)是對比於1/[i]n[/i]^2?
[b]08.[/b] [帖#015] 為甚麼|[i]m[/i]| <= [i]l[/i]?
[b]09.[/b] [帖#017] 為甚麼[i]l[/i] = 0, 1, 2, ..., [i]n[/i]-1?
[b]10.[/b] [帖#013] 為甚麼電子[i]z[/i]軸的角動量是[i]mћ[/i]?
[b]11.[/b] [帖#016] 為甚麼電子的總角動量是[i]ћ[/i][[i]l[/i]([i]l[/i]+1)]^(1/2)?
[b]12.[/b] [帖#36,#37,#38,#50,#53(例示)] 為甚麼一個電子軌域(orbital)內最多只有兩個電子?
[b]13.[/b] [帖#061] 為甚麼一個量子數[i]n[/i]能層內最多只有2[i]n[/i]^2個電子?

另外, 這個計算也可以解釋/演示量子力學的一些公設(axioms)關係如下:
[b]A1.[/b] [帖#014] 量子系統的性質完全由狀態向量|[i]ψ[/i]>來定義。狀態向量是稱為狀態空間的複Hilbert空間[b][i]H[/i][/b]的一個元素。
[b]A2.[/b] [帖#013] 對於每個物理性質[b][i]A[/i][/b](能量、位置、動量、角動量等),都存在一個相關的線性Hermitian算子[i]A[/i](注意: 這標號並不是”物理性質[b][i]A[/i][/b]”)(通常稱為可觀測的),它在狀態[b][i]H[/i][/b]的空間中起作用。算子的特徵值是物理性質的可能值。
[b]A4.[/b] [帖#011] 封閉系統的演變是單一的。狀態向量|[i]ψ[/i]([i]t[/i])>可以通過時刻[i]t[/i]_0的狀態向量|[i]ψ[/i]([i]t[/i]_0)>和一元算子(unitary operator)[i]U[/i]([i]t[/i], [i]t[/i]_0)組成的”演化算子”計算出: |[i]ψ[/i]([i]t[/i])> = [i]U[/i]([i]t[/i], [i]t[/i]_0)|[i]ψ[/i]([i]t[/i]_0)>

(以上的有關解釋小弟只能從解出波函數的過程中自己領略到. 如有另外的方法解釋, 勞煩大家也提出來. 非常感謝賜教!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-19 11:27 PM 編輯 [/i]]

sylim 2018-3-12 09:12 PM

唔了解你唔明白邊一部分 所以好難解答你既問題 
如果你已能解出3D schrodinger equation 
應該已經明白每一個quantum number 的物理意義

rhwlam 2018-3-12 09:36 PM

[quote]原帖由 [i]sylim[/i] 於 2018-3-12 21:12 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476742521&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
唔了解你唔明白邊一部分 所以好難解答你既問題
如果你已能解出3D schrodinger equation
應該已經明白每一個quantum number 的物理意義 [/quote]
是的, 以上的問題我應該都從解出3D Schrodinger Equation的過程找到了解釋.
我只是想列出小弟可以從3D Schrodinger Equation解釋到的基本概念, 但也希望與高手們印證自己的理解是正確(還是仍有不足), 僅此而已.

rhwlam 2018-3-12 10:14 PM

[quote]原帖由 [i]sylim[/i] 於 2018-3-12 21:12 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476742521&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
唔了解你唔明白邊一部分 所以好難解答你既問題
如果你已能解出3D schrodinger equation
應該已經明白每一個quantum number 的物理意義 [/quote]
sylim兄, 其實小弟有一個地方不是十分肯定, 想再加印證的, 就是'[u][i]l [/i]為何是整數[/u]'.
小弟的看法是若看3D Schrodinger Equation分拆出來有關[i]θ[/i]的常微分方程 (當中多加了一個未知項/參數[i][b]A[/b][/i]), 再先考慮[i]m[/i]=0的情況下, 其答案會是Lengendre polynomials. 由於我們另外須要Lengendre polynomials的orthogonality的性質以求出wavefunction的eigenfunction, 所以我們只採納'Lengendre polynomials of the first kind', 所以當中的[i][b]A[/b][/i]只能是[i]l [/i]([i]l[/i] + 1), 而[i]l[/i] 為整數0, 1, 2, .... 請問這個想法是對的嗎? 還是有其他更正確的想法支持'[u][i]l [/i]是整數[/u]'?
非常感謝! :smile_o06:

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-15 05:35 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-3-12 10:39 PM

量子數之整數原因,應該是配合電子駐波數目的整數、電子數目的整數、電子能級的整數有關。

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-3-13 02:32 PM 編輯 [/i]]

高達泛黃的羊 2018-3-12 11:22 PM

:smile_41:

sylim 2018-3-12 11:36 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 10:14 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476746249&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

sylim兄, 其實小弟有一個地方不是十分肯定, 想再加印證的, 就是'l 為何是整數'.
小弟的看法是若看3D Schrodinger Equation分拆出來有關θ的偏微分方程 (當中多加了一個未知項/參數A), 再先考慮m=0的情況下, 其答案 ... [/quote]

你有沒有留意 所有量子數都是整數?
每一個量子數都和一個守恆的物理量有關
而每一個守恆的物理量 都伴隨一個對稱性

簡單用一個Parity operator P 作解釋
P的作用是相對於某軸的鏡像反映
將P作用於一個eigenfunction或eigenket 即[img]https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9567f4dcaf1232024df978a752eb82bf26bd5a2e[/img]
eigenfunction維持不變 其eigenvalue c 為+1 或-1
點解只有呢兩個整數呢? 因為只有當c係呢兩個整數時 Parity守恆不變

相同道理, 因為l係角動量的量子數 只有當l等如0或正整數時 原子(包含電子)的角動量先可以守恆
其物理意義係 原子既軌道只有特定的eccentricity
其餘的量子數係同樣道理

rhwlam 2018-3-13 12:59 AM

[quote]原帖由 [i]sylim[/i] 於 2018-3-12 23:36 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476750999&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
你有沒有留意 所有量子數都是整數?
每一個量子數都和一個守恆的物理量有關
而每一個守恆的物理量 都伴隨一個對稱性
簡單用一個Parity operator P 作解釋
P的作用是相對於某軸的鏡像反映
將P作用於一個 ... [/quote]
謝謝sylim兄和LT3648兄.
小弟只是中學物理程度, 水平不足.
波函數也只是參考網上資料以"蠻力"計算出來, 帖#03的所有關係也只能以數學的角度看出來.
"量子數都是整數" 我能只能看成是要解出Schrödinger公式的必要條件, 對其物理意義的理解仍然不足.
老實說, 小弟還不完全理解大家說的物理意義. 我要點時慢慢想清楚.
無論如何, 感謝!

rhwlam 2018-3-23 12:27 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]A4.[/b] 封閉系統的演變是單一的。狀態向量|[i]ψ[/i]([i]t[/i])>可以通過時刻[i]t[/i]_0的狀態向量|[i]ψ[/i]([i]t[/i]_0)>和一元算子(unitary operator)[i]U[/i]([i]t[/i], [i]t[/i]_0)組成的”演化算子”計算出: |[i]ψ[/i]([i]t[/i])> = [i]U[/i]([i]t[/i], [i]t[/i]_0)|[i]ψ[/i]([i]t[/i]_0)>[/quote]
以上是帖#03的公設A4.
若我們先考慮[i]Ψ[/i]([i][u]r[/u][/i], [i]t[/i]) = [i]U[/i]([i]t[/i])[i]Ψ[/i]([i][u]r[/u][/i]), Schrödinger方程可分拆成:
[attach]8052302[/attach], 以及
[attach]8052288[/attach].
我們先考慮時間[i]t[/i]的常微分方程, 其[i]U[/i]([i]t[/i])的解為:
[attach]8052303[/attach]
當中[i]C_t[/i]為未知數. 我們可以設[i]C_t[/i] = 1, 以令[i]U[/i]([i]t[/i])在Hibert space為一個一元算子([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_operator]https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_operator[/url]).

[b][u]帖#03的公設A4得以由此被證明.[/u][/b] (有錯請指教. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-23 06:05 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-23 06:02 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]01.[/b] 為甚麼量子數(quantum number) [i]m[/i]是整數?[/quote]
重觀以下公式:
[attach]8053319[/attach]
當中的[i]V[/i]([i]r[/i])是Coulombic attraction造成的勢能. [i]V[/i]([i]r[/i]) = -[i]ze[/i]^2/(4pi*epilison_o*[i]r[/i]) ([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy]https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy[/url]). 為簡化起見我們設[i]Z[/i] = [i]ze[/i]^2/(4pi*epilison_o), 以令[i]V[/i]([i]r[/i]) = -[i]Z[/i]/[i]r.[/i]
若考慮[i]Ψ[/i]([i]r, [/i][i]θ[/i], [i]φ[/i]) =[i]R[/i]([i]r[/i]) x [i]Θ[/i]([i]θ[/i]) x [i]Ф[/i]([i]φ[/i]), 我們可以將以上公式分拆成以下三個常微分方程:
[attach]8055470[/attach]
當中[i]A[/i]和[i]B[/i]為未知參數.
若我們考慮最後一條[i]Ф[/i]([i]φ[/i])的方程, 其方程解是:
[attach]8053321[/attach]
當中[i]m[/i]^2 = [i]B[/i]. 因為[i]φ[/i]是角度, [i]Ф[/i](0) = [i]Ф[/i](2pi) = [i]Ф[/i](4pi) = ...
[u][b]所以[i]m[/i]必定要是整數, 這能解答帖#03的問題01.[/b][/u]

另外, 若我們容許[i]m[/i]可以是負數的話, 我們可以比較簡單地考慮:
[attach]8053322[/attach]
[b]延伸問題: [/b]但這個簡化是隨意的嗎?請看下帖繼續討論.
(有錯請指教. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-24 08:50 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-23 08:25 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]A2.[/b] 對於每個物理性質[b][i]A[/i][/b](能量、位置、動量、角動量等),都存在一個相關的線性Hermitian算子[i]A[/i](注意: 這標號並不是”物理性質[b][i]A[/i][/b]”)(通常稱為可觀測的),它在狀態[b][i]H[/i][/b]的空間中起作用。算子的特徵值是物理性質的可能值。[/quote]
對於帖#03提出的公設[b]A2[/b], 我們可以提出一些算子為例子. 如動量算子([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum_operator]https://en.wikipedia.org/wiki/Momentum_operator[/url])和角動量算子([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator[/url]).
當中我們可以稍為討論[i]z[/i]軸的角動量算子"[i]L_z[/i]":
[attach]8054039[/attach]
以上利用波涵數所計算的答案就是電子[i]z[/i]軸的角動量 x [i]Ψ[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]). (請容許我們先不考究[i]z[/i]軸到底是甚麼方向.)
[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]05.[/b] 為甚麼量子數(quantum number) [i]m[/i]會是只跟原子[i]z[/i]軸的電子角動量有關?
[b]10.[/b] 為甚麼電子[i]z[/i]軸的角動量是[i]mћ[/i]?[/quote]
回觀我們可視: [i]Ψ[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]) = [i]R[/i]([i]r[/i]) x[i]Θ[/i]([i]θ[/i]) x [i]Ф[/i]([i]φ[/i]), 而我們已計算到:
[attach]8054086[/attach]
如大家記得的話, 以上我們忽略了exp(-[i]imφ[/i])的項, 這是隨便的決定嗎? 其實不然, 這個簡化是考慮到[i]Ф[/i]([i]φ[/i])與[i]z[/i]軸角動量的相關性.
如此簡化, 我們便可得出[i]L_z[/i][i]Ψ[/i] = [i]ћm[/i][i]Ψ.[/i]
所以, [b][u][i]z[/i]軸角動量為[i]L_z[/i] = [i]ћm. [/i]帖#03的問題05和10也得以被解釋.[/u][/b]
(如有錯漏, 還望指教. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-23 08:46 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-24 01:03 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]04.[/b] 為甚麼一個電子只有一個量子態([i]m[/i], [i]l[/i] 以及 [i]n[/i]; spin暫不考慮)?[/quote]
現在轉一下話題, 我們想一下電子的"波粒二象性". 電子的軌域會有其相對的波函數. 電子的存在最少是"一粒"而沒有"半粒", 不能再簡化. 那麼, 其對應的波函數也有"不能再簡化"情況嗎?
我們看一下Schrodinger方程, 其實是"線性"的, 即若一個[i]Ψ[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i])的解可能是另外兩個或以上的更簡單解的線性組合, 如:
[i]Ψ[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]) = K_1 * [i]Ψ_[/i]1([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]) + K_2 * [i]Ψ[/i]_2([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]).
若如此不斷分拆下去, 我們便找出不能再分拆的"基本"解. (當然這便是大家都知道的eigenfunction了. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenfunction]https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenfunction[/url])
如我們是計算氫原子中其唯一電子的波函數, 就會是波函數的eigenfunction, 又或稱作電子軌域(orbital).
Eigenfunction有著orthogonality的特性, 以波函數的eigenfunction來說, 可考慮[i]Ψ_n,l,m[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]) x [i]Ψ_n',l',m'[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i])* 的體積積分([url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/TISphericalCoords.aspx]http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/TISphericalCoords.aspx[/url]):
[attach]8055027[/attach]
要乎合orthogonality([url=https://math.stackexchange.com/questions/1358485/what-does-it-mean-when-two-functions-are-orthogonal-why-is-it-important]https://math.stackexchange.com/questions/1358485/what-does-it-mean-when-two-functions-are-orthogonal-why-is-it-important[/url])的條件, 以上的積分要在[i]m[/i]=[i]m[/i]',[i]l[/i]=[i]l[/i]'和[i]n[/i]=[i]n[/i]'時才會是=1, 否則=0.
以之前的討論來看, 我們最理解的是最後的項[i]Ф_m[/i]([i]φ[/i])[i]Ф_m'[/i]([i]φ[/i])*的積分. 那麼, 我們可設:
[attach]8055028[/attach]
當中的[i]C[/i]_[i]φ [/i]= 1/sqrt(2pi)[i]. [/i]以令這個[i]Ф_m[/i]([i]φ[/i])[i]Ф_m'[/i]([i]φ[/i])*的積分項個別乎會orthogonality的條件.

[b]一個電子只有一個[i]z[/i]軸角動量水平(= [i]ћm[/i]), 所以只會造成對應[i]m[/i]值的一個[i]Ф_m[/i]([i]φ[/i]), 當中的[i]m[/i]是其中一個量子態.
[u]如果以後我們把帖#01的[i]R_n,l[/i]([i]r[/i])和[i]Θ[/i]_[i]l,m[/i]([i]θ[/i])都解出的話, 我們便知能完全解釋問題04了.[/u][/b]
另外, 至於多少個電子會擁有同一個eigenfunction/orbital, 這應該不是波函數本身能看出來的吧...

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]A1.[/b] 量子系統的性質完全由狀態向量|[i]ψ[/i]>來定義。狀態向量是稱為狀態空間的複Hilbert空間[b][i]H[/i][/b]的一個元素。[/quote]
另外, 波函數wavefunctions中如疊加和orthogonality的特性都乎合在Hilbert空間([url]https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space[/url])作為eigenstates/eigenvectors的要求.
(有錯請賜教. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-24 08:23 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-24 09:19 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]02. [/b]為甚麼量子數(quantum number) [i]l[/i]是整數?
[b]08. [/b]為甚麼|[i]m[/i]| <= [i]l[/i]?[/quote]
現在我們考慮[i]Θ[/i]([i]θ[/i])的常微分方程:
[attach]8055519[/attach]
若我們設[i]x[/i]=cos[i]θ[/i]和[i]P[/i](cos[i]θ[/i])=[i]Θ[/i]([i]θ[/i])的話, 我們可得出:
[attach]8055526[/attach]
我們先考慮[i]m[/i]=0的情況, 再設[i]A[/i]=[i]l[/i]([i]l[/i]+1), [i]l[/i]為實數. 那麼, 這便會得出[i]Legendre[/i]微分方程([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials]https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials[/url]).
其通用解為[i]P[/i]([i]x[/i]) = [i]K[/i]_1*[i]P_l[/i](x) + [i]K[/i]_2*[i]Q_l[/i]([i]x[/i])
當中[i]P_l[/i]([i]x[/i])為Legendre polynomials of the first kind, 是當[i]l[/i]為非負整數(0, 1, 2, ...)時的解, 具有orthogonality的特性. 而[i]Q_l[/i]([i]x[/i])為Legendre polynomials of the second kind. (請參考以上的wiki連結.)
如上一帖所述, 因為我們現在考慮單一電子的波函數, 即波函數的eigenfunction, 我們要求orthogonality, 所以我們只考慮以上的[i]K[/i]_2=0, 即[i]P[/i]([i]x[/i]) = [i]K[/i]_1*[i]P_l[/i](x).
[b][u]基於[i]P_l[/i]([i]x[/i])的特性, [i]l[/i]只可以是非負整數, 解答了帖#03的問題02.[/u][/b]

接著, 我們若再進一步考慮[i]m[/i]<>0的情況, 這會是general Legendre方程([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials]https://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials[/url]). 其解是associated Legendre polynomials [i]P[/i]_[i]l[/i],[i]m[/i]([i]x[/i]). 當中若|[i]m[/i]|>[i]l[/i], [i]P[/i]_[i]l[/i],[i]m[/i]([i]x[/i]) = 0.
[b][u]基於[i]P_l,m[/i]([i]x[/i])的特性, |[i]m[/i]|<=[i]l[/i], 解答了帖#03的問題08.[/u][/b]

因此, [i]Θ[/i]([i]θ[/i]) = [i]C[/i]_[i]θ[/i] x [i]P[/i]_[i]l[/i],[i]m[/i](cos[i]θ[/i]).
若我們考慮[i]Θ[/i]([i]θ[/i])的orthogonality可以解出[i]C[/i]_[i]θ[/i] 而得到帖#01所述的[i]Θ[/i]([i]θ[/i])答案.
(有錯請指正. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-24 10:01 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-3-24 12:23 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]04b.[/b] 為甚麼一個電子只有一個量子態[i]l[/i] ?
[b]06.[/b] 為甚麼量子數(quantum number) [i]l[/i]會是只跟電子總角動量有關?
[b]11.[/b] 為甚麼電子的總角動量是[i]ћ[/i][[i]l[/i]([i]l[/i]+1)]^(1/2)?[/quote]
我們現知道了在之前推出的[i]R[/i]([i]r[/i]), [i]Θ[/i]([i]θ[/i])和[i]Ф[/i]([i]φ[/i])的微分方程中, [i]A[/i] = [i]l[/i]([i]l[/i]+1)和[i]B[/i] = [i]m[/i]^2. 現先將[i]Θ[/i]([i]θ[/i])和[i]Ф[/i]([i]φ[/i])的微分方程用以下方式表達:
[attach]8056174[/attach]
現考慮總角動量[i]L[/i]的關係([url=https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator]https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_operator[/url]):
[attach]8056175[/attach]
[u][b]這解答了帖#03的問題06和11.[/b][/u]

另外, 因為我們現考慮單一電子, 其對應的波函數是一個被[i]l[/i]和其他量子態定義eigenfunction, 而一粒電子只有一個總角動量的水平, 所以總的來說, [b][u]一個電子只有一個量子態[i]l[/i][/u][/b] .

rhwlam 2018-3-24 01:24 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-12 18:52 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=476735778&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[b]03.[/b] 為甚麼量子數(quantum number) [i]n[/i]是整數?
[b]07.[/b] 為甚麼電子能量水平(electron energy levels)是對比於1/[i]n[/i]^2?
[b]09.[/b] 為甚麼[i]l[/i] = 0, 1, 2, ..., [i]n[/i]-1?[/quote]
對於還沒解開的[i]R[/i]([i]r[/i])的微分方程, 我們先設[i]u[/i]([i]r[/i])=[i]R[/i]([i]r[/i])/[i]r[/i]:
[attach]8056504[/attach]
詳細的解法可參看Prof. Alpar Sevgen的視頻:
[url=https://www.youtube.com/watch?v=ve-2eFeR2fI]https://www.youtube.com/watch?v=ve-2eFeR2fI[/url]
小弟在此感受到Prof. Alpar Sevgen和其他科學家/教授的"可怕": [b]手執一枝粉筆就是最好的課![/b]
[u]以上視頻有個小地方要注意: 課堂中的方程有時被"normalized"了, 所以2mu*[i]Z[/i]/[i]ћ[/i]^2被寫成"2"和-[i]E[/i](2mu/[i]ћ[/i]^2)被寫成[i][b]E[/b][/i].[/u]

現在小弟只將一些重要關係點出如下.
[i]u[/i]([i]r[/i])的解可以是: [i]u[/i]([i]r[/i]) = [i]r[/i]^([i]l[/i]+1)*exp(-[i]kr[/i])*[i]F[/i]([i]r[/i])
當中[i]k[/i] = sqrt(-2*mu*[i]E[/i]/[i]ћ[/i]^2), 而[i]F[/i]([i]r[/i])為[i]r[/i]的"有限項"多項式: [i]F[/i]([i]r[/i]) = Σ[i]a[/i]_[i]j[/i]*[i]r[/i]^[i]j[/i], [i]a_j[/i]是[i]r[/i]^[i]j[/i]項的系數.
假設[i]F[/i]([i]r[/i])只有[i]q[/i]+1項, 我們會得出以下關係:
[i]k[/i] = [i]Z[/i]*mu/[i]ћ[/i]^2/ ([i]q[/i]+[i]l[/i]+1)
[b][u]現我們可設[i]n[/i] = [i]q[/i]+[i]l[/i]+1. 明顯地, [i]q[/i]是項的數目, 是非負整數. 因此[i]n[/i]是正整數, 另外得知[i]l[/i] = 0, 1, 2, ..., [i]n[/i]-1. 帖#03的問題03和09得到解釋.[/u] [/b][b](所以"[i]n[/i]是整數是因為[i]l[/i]是整數", 這個解釋"奇怪"嗎? [/b]:smile_35:[b])[/b]

另外, [i]E[/i]可被視作"electron energy level". 解出[i]R[/i]([i]r[/i])的過程中我們可以知道:
[i]k[/i]^2 = -2*mu*[i]E[/i]/[i]ћ[/i]^2 = mu^2*[i]Z[/i]^2/([i]n[/i]^2*[i]ћ[/i]^4)
因此
[i]E[/i] = -[i]Z[/i]^2*mu/(2[i]ћ[/i]^2) * 1/[i]n[/i]^2
[b][u]所以, [i]E[/i]正比於1/[i]n[/i]^2, 我們也解釋到帖#03的問題07.[/u] (另外, 這也乎合Bohr原子模型的energy levels. 可謂"不謀而合", 太"神奇"了! [/b]:smile_53:[b])[/b]

[i]F[/i]([i]r[/i])其實就是associated Lageurre多項式([url=http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLaguerrePolynomial.html]http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLaguerrePolynomial.html[/url]).
[i]R[/i]([i]r[/i]) = [i]C_r[/i]*[i]r[/i]^[i]l[/i]*exp(-[i]kr[/i])*[i]F[/i]([i]r[/i])
而[i]C_r[/i]可以設定以令[i]R[/i]([i]r[/i])乎合orthogonality, 以求出帖#01的[i]R[/i]([i]r[/i])解.
(有錯請提點. 先謝!)

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-3-25 11:35 AM 編輯 [/i]]

Zzlaz 2018-4-5 12:58 AM

本身唔係物理背景

那四個Quantum numbers
對我而言只是公式解
方便使用可以

而且對於Multi electrons system Schrodinger equation 應是無法解的 要Approximation

近來也有點興趣想學番
時代久遠了:smile_35:

xianrenb 2018-4-5 01:34 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-24 01:24 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=477368853&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

對於還沒解開的R(r)的微分方程, 我們先設u(r)=R(r)/r:
8056504
詳細的解法可參看Prof. Alpar Sevgen的視頻:
[url=https://www.youtube.com/watch?v=ve-2eFeR2fI]https://www.youtube.com/watch?v=ve-2eFeR2fI[/url]
小弟在此感受到Prof. Alpar Sevgen和其他科學家/教授 ... [/quote]

短片看了 10~15 分鐘左右吧!
看不明。
放棄。

rhwlam 2018-4-5 07:23 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-3-23 20:25 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=477337916&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
回觀我們可視: [i]Ψ[/i]([i]r, θ[/i], [i]φ[/i]) = [i]R[/i]([i]r[/i]) x[i]Θ[/i]([i]θ[/i]) x [i]Ф[/i]([i]φ[/i]), 而我們已計算到:
[attach]8054086[/attach]
如大家記得的話, 以上我們忽略了exp(-[i]imφ[/i])的項, 這是隨便的決定嗎? 其實不然, 這個簡化是考慮到[i]Ф[/i]([i]φ[/i])與[i]z[/i]軸角動量的相關性.
請容許我們先不考究[i]z[/i]軸到底是甚麼方向.[/quote]
之前忘了說明[i]z[/i]軸的方向, 當一個原子在磁場的影響下, [i]z[/i]軸便是磁場的方向.
老實說, 小弟不能解釋其原因.
若有高手能說出當中是為甚麼, 萬分感激!

xianrenb 2018-4-7 09:16 AM

前面的數學我基本上看不明。
但是,以我的理解,是將電子的位置 ,分拆成多個 orthogonal 的 orbit 出來。
前面的應該是正統科學觀點。
雖然我不能理解,但有另一種非正統科學的想法。
以我的理解,如果用 FFT 一類方法,分出來的每個 frequency 的 signal 都應該是 orthogonal 的。
如果在 frequency domain ,不同的 frequency signal ,應該是 orthogonal 的。
就算是同一 frequency , phase 差 90 度(sin 及 cos),都是 orthogonal 的。
那麼,可不可以這樣看,只要把電子的位置,拆成多種不同 frequency 描述的情況就可以了。

以下情況/計算,全部時間都指 real time 。

首先,如果有座標 (x, y, z) 。
在某一個 period T 下,電子可以由 x_max 到 x_min 到 x_max 這樣走 x_f 次;
y_max 到 y_min 到 y_max 這樣走 y_f 次;
z_max 到 z_min 到 z_max 這樣走 z_f 次。
但這個座標系統,本身可以轉動。
可以保持 x 軸, y 、 z 變化來旋轉,每個 period T 重合 xr_f 次。
可以保持 y 軸, z 、 x 變化來旋轉,每個 period T 重合 yr_f 次。
可以保持 z 軸, x 、 y 變化來旋轉,每個 period T 重合 zr_f 次。
上述的 x_f 、 y_f 、 z_f 、 xr_f 、 yr_f 、 zr_f 全部都是 frequency ,可以是任何正負數的 integers ,包括 0 。
所以先旋轉座標系統,再震動 x 、 y 、 z ,就應該描述到路徑。
基本上若電子按照上述描述的系統移動,一個 period T 後必定走回到起始的位置。
按前面的想法,應該都是 orthongonal 的路徑。
甚至乎,差 90 度的話亦是 orthogonal ,即是相同的 frequency 組合,可以有兩粒電子。
只不過這樣的想法,雖然易於思考,但與正統科學的描述看來差別很大。

rhwlam 2018-4-7 10:39 AM

[quote]原帖由 [i]Zzlaz[/i] 於 2018-4-5 00:58 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=477989676&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
而且對於Multi electrons system Schrodinger equation 應是無法解的 要Approximation. [/quote]
謝謝補充. 這是一點得重要的概念!
當一個原子的原子數大於1, 原子存在多於一個電子, 電子與電子間的Coulombic排斥力也應牽涉其中. 對應的Schrodinger公式就會變得非常複雜了.
以銀(原子數: 47)為例, 我們應同時考慮46+45+...+1個電子間的Coulombic排斥力, 難以用分析數學解出.

rhwlam 2018-4-7 02:22 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-7 10:39 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478112986&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
當一個原子的原子數大於1, 原子存在多於一個電子, 電子與電子間的Coulombic排斥力也應牽涉其中. 對應的Schrodinger公式就會變得非常複雜了.
以銀(原子數: 47)為例, 我們應同時考 ... [/quote]
另外, 想請教一下大家. [b][u]為何一個orbital中只有兩個電子?[/u][/b]
例如, 為甚麼Helium有兩個電子在1s, 而不是一個在1s而另一個在2s?
又例如, 為甚麼Lithium有兩個電子在1s一個電子在2s而不是其他組合?
謝謝.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-8 03:22 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-4-8 01:39 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-7 09:16 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478109439&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
前面的數學我基本上看不明。
但是,以我的理解,是將電子的位置 ,分拆成多個 orthogonal 的 orbit 出來。
前面的應該是正統科學觀點。
雖然我不能理解,但有另一種非正統科學的想法。
以我的理解,如果用 FFT 一 ... [/quote]

再想想,我在 21 樓的想法應該畫蛇添足。
就算是正確,也應該不用考慮旋轉座標系統。
因為 x 、 y 及 z 本身如果按 Fourier series 的方式分拆成多個 component 的話。
用不同頻率應該已能代表所有可能的 signal (包括 0 Hz)。
如果再考慮座標系統可以旋轉,反而會是重複計算了相同的東西。

或者此帖到現在為止我都是算錯數。
不過,如果用 polar coordinate system 能計算到有用的東西,應該用 Cartesian coordinate system 都能計算到另一套有用的東西。

rhwlam 2018-4-8 03:13 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-8 13:39 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478180782&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]不過,如果用 polar coordinate system 能計算到有用的東西,應該用 Cartesian coordinate system 都能計算到另一套有用的東西。[/quote]Fouries series的確是可以解出某些系統在Cartesian coordinates的Schrodinger's equation的, 但其先決條件是我們能否實行separation of variables, 即能否將其偏微分方程分拆成[i]x[/i], [i]y[/i], 和[i]z[/i]的三個常微分方程.
重觀帖#011的公式:
[attach]8123784[/attach]
當中的[i]V[/i]([i]r[/i])是Coulombic attraction造成的勢能. [i]V[/i]([i]r[/i]) = -[i]ze[/i]^2/(4pi*epilison_o*[i]r[/i]).
因為這個[i]V[/i]([i]r[/i])是隨徑向位置[i]r[/i] [= sqrt([i]x[/i]^2+[i]y[/i]^2+[u][i]z[/i][/u]^2)]改變, 所以難以分拆成個別[i]x[/i], [i]y[/i]和[i]z[/i]的不同項, 此時Fourier series難以應用.

當然, 若我們考慮的不是原子中的電子, 是別的系統, 這個[i]V[/i]([i]r[/i])項可以換成是別的適切Cartesian coordinates的"東西". 那麼Fourier series就會有派上用場的時候了.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-8 03:20 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-4-8 03:33 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-7 09:16 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478109439&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
按前面的想法,應該都是 orthongonal 的路徑。
甚至乎,差 90 度的話亦是 orthogonal ,即是相同的 frequency 組合,可以有兩粒電子。
只不過這樣的想法,雖然易於思考,但與正統科學的描述看來差別很大。[/quote]
謝謝xianrenb兄的回覆. 這個解釋很有意思!
另外, 小弟也對2粒電子在一個orbital的解釋有點想法, 但也可能與Pauli's exclusion principle有點出入... 所以想聽聽大家高手們的解釋.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-4-8 03:48 PM 編輯 [/i]]

Zzlaz 2018-4-8 05:35 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-7 02:22 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478123591&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

另外, 想請教一下大家. 為何一個orbital中只有兩個電子?
例如, 為甚麼Helium有兩個電子在1s, 而不是一個在1s而另一個在2s?
又例如, 為甚麼Lithium有兩個電子在1s一個電子在2s而不是其他組合?
謝謝. [/quote]


其實係可以 Excited state 吧

Ground state 的electron placement 由aufbau principle 決定

Zzlaz 2018-4-8 05:42 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-4-8 03:33 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478186962&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝xianrenb兄的回覆. 這個解釋很有意思!
另外, 小弟也對2粒電子在一個orbital的解釋有點想法, 但也可能與Pauli's exclusion principle有點出入... 所以想聽聽大家高手們的解釋. [/quote]


找番本陳年舊書
希望幫到你

知識99%比番老師了
而且不是物理學 我考試唔使識呢味野
:smile_35:
我記得係同Electron是fermions
有關

Assymmetric wavefunction
[attach]8124228[/attach][attach]8124229[/attach]

xianrenb 2018-4-8 06:01 PM

想到一些東西。
如果按:
[url=http://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27362512&extra=page%3D1]http://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27362512&extra=page%3D1[/url]
x = x0 * e^(E*t/(i*ħ)) ...(1))

那麼即是只要算出 Energy E 是什麼,就知道 x 是什麼。
E 應該包括 kinetic energy E_k 及 potential energy E_p。
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy]https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy[/url]
如果 momentum 是 p :
E_k = p^2/(2*m)
x 方向的:
E_k_x = p_x^2/(2*m) ...(2)
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy]https://en.wikipedia.org/wiki/Electric_potential_energy[/url]
1/(4*π*ε0) * qQ/r
現假設電子正在 (x_k, y_k, z_k)的位置。
而 r^2 = x_k^2 + y_k^2 + z_k^2 。
如果電子本來在無限遠,向着原子核 (0, 0, 0) 的方向走,一直走至 (x_k, y_k, z_k)來變動 potential energy 的話。
當中的 x 方向的 force F_x,就應該是 x_k/r * F。
每走一小段 dr ,就是走了 dx = x_k/r * dr 。
E = ∫ F ds
所以 x 方向的 E_p_x = (x_k/r)^2 * E_p 。
E_p_x = (x_k/r)^2 * 1/(4*π*ε0) * qQ/r
E_p_x = x_k^2/(x_k^2+y_k^2+z_k^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ
把電子換回 (x, y, z) 的位置:
E_p_x = x^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ ...(3)

按 (1):
x = x0 * e^((E_k_x+E_p_x)*t/(i*ħ))
用 (2) 及 (3):
x = x0 * e^((p_x^2/(2*m)+x^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ)*t/(i*ħ))

同理求得 y 及 z ,即:
x = x0 * e^((p_x^2/(2*m)+x^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ)*t/(i*ħ))
y = y0 * e^((p_y^2/(2*m)+y^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ)*t/(i*ħ))
z = z0 * e^((p_z^2/(2*m)+z^2/(x^2+y^2+z^2)^(3/2) * 1/(4*π*ε0) * qQ)*t/(i*ħ))

這是不是一粒電子的“orbit”?
不過就算是這樣算,兩三粒電子(因有電子間的 force/energy)都會變得非常複雜。

Zzlaz 2018-4-8 06:42 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-4-8 06:01 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=478195515&ptid=27302602][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
想到一些東西。
如果按:
http://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27362512&extra=page%3D1
x = x0 * e^(E*t/(i*ħ)) ...(1))

那麼即是只要算出 Energy E 是什麼,就知道 x 是什麼。
E 應該包括 k ... [/quote]


若是軌跡Orbit的話 應該不會有 x, y, z term 出現?
頁: [1] 2 3
查看完整版本: 原子中電子軌域(orbital)的計算