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LT3648 2018-7-30 06:54 PM

時空間隔不變的理解

狹義相對論中,因為光速不變,所以時間-空間間隔(時空間隔)就成了不變量。

本帖的理解是,相對於其它慣性系,某物體運動的時空間隔/c=該物體的原時(原時=Proper Time,原時x c=時空間隔),所以該物體的原時,相對於任何其它慣性系的相隔時間、距離或速度,只要經過勞侖茲變換,計出的該物體的原時是不變量。

s=時空間隔=不變量,t=觀察者測量被觀察者的運動時間,x=觀察者測量被觀察者的運動距離,原時(Proper Time) =被觀察者自己睇手錶的時間
s^2 = (ct)^2 - x^2
s^2 = (ct)^2 x (1 - x^2/(ct)^2)
s^2 = (ct)^2 x (1 - v^2/c^2)
s/c = t x (1 - v^2/c^2)^1/2
原時(Proper Time) = t x (1 - v^2/c^2)^1/2 <----勞侖茲變換 t,v =相對其它慣性系的相隔時間,速度
ps. 精髓在於 t和v表示時間和空間連成一體,時空不變,原時(Proper Time) 不變,但t和v會因應其他不同觀察者的不同慣性座標互為變化。

關於s^2 = (ct)^2 - x^2的公式各項的關系,建議畫個二維時空圖,Y-軸=時空=原時x c=(對邊) s ,X-軸=距離(底邊) x ,斜邊=觀測時t x c=ct,用畢氏定理就能明白,可能有人問點解觀察時的ct是斜邊?因為觀察時永遠大於或等於原時,絕不會小於原時的。:loveliness:

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-9-6 12:43 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-9-4 12:34 PM

時空間隔的不變性,除咗可計出原時(Proper Time)外,亦可計出原距或原長的(Proper Distance or Length),可看以下影片::loveliness:

[url]https://www.youtube.com/watch?v=WFAEHKAR5hU[/url]

LT3648 2018-9-6 01:35 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-7-30 06:54 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=484689812&ptid=27611731][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
關於s^2 = (ct)^2 - x^2的公式各項的關系,建議畫個二維時空圖,Y-軸=時空=原時x c=(對邊) s ,X-軸=距離(底邊) x ,斜邊=觀測時t x c=ct,用畢氏定理就能明白,可能有人問點解觀察時的ct是斜邊?因為觀察時永遠大於或等於原時,絕不會小於原時的。:loveliness: [/quote]

即係話,以直角三角形解:
(ct)^2 = s^2 + x^2
ct=斜邊,s=對邊,x=底邊

(ct)^2 = s^2 + x^2
其實可導出相對論動量與能量關系式
E^2 = (m0c^2)^2 + (pc)^2
i.e. 總能量=靜能+動能

方法如下:
(ct)^2 = s^2 + x^2
t^2 = (s/c)^2 + x^2/c^2  (s/c=原時,t=觀察時 t/s/c = 勞侖茲因子 "gamma" ,γ)
t^2 = (s/c)^2 + x^2/c^2
t^2/(s/c)^2 = 1 + x^2 t^2/c^2 t^2 (s/c)^2
γ^2 = 1 + γ^2v^2/c^2
(m0c^2)^2 γ^2 = (m0c^2)^2 + (m0c^2)^2 γ^2 v^2/c^2
(γm0c^2)^2 = (m0c^2)^2 + (γm0v)^2 c^2
Total E = γm0c^2
E^2 = (m0c^2)^2 + (γpc)^2 (但此式γpc通常只寫pc)
[b]E^2 = (m0c^2)^2 + (pc)^2[/b]
以上公式適用於有質量的運動物體,
對於有質量但靜止的物體,因為v=0, mv=p=0,無動能仍有靜能,公式變為
E^2 = (m0c^2)^2
[b]E = [/b][b]m0c^2[/b]
對於無質量物體例如光子,因為m0=0,無靜能但有動能,公式變為
E^2 = (pc)^2
[b]E=pc[/b]
:loveliness:

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-9-6 02:05 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-9-6 04:20 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-9-6 01:35 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=486869662&ptid=27611731][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


即係話,以直角三角形解:
(ct)^2 = s^2 + x^2
ct=斜邊,s=對邊,x=底邊

(ct)^2 = s^2 + x^2
其實可導出相對論動量與能量關系式
E^2 = (m0c^2)^2 + (pc)^2
i.e. 總能量=靜能+動能

方法如下:
(ct)^2 = s^2 + x^2
t^2 = (s/c)^2 + x^2/c^2  (s/c=原時,t ... [/quote]

γ^2 = 1 + γ^2v^2/c^2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
(m0c^2)^2 γ^2 =[b] [color=#0000ff](m0c^2)[/color][/b]^2 + (m0c^2)^2 γ^2 v^2/c^2<<<<<<<<<<<<<<<<<<

眼利的版友可能會問,以上之 "(m0c^2)" 怎來的?即是督數啫!是的,本帖已準備deriving E=mc^2 的影片作參考,要懂微積分才能明白的:


可惜頭一套片中突然出現之「dm」,jump咗step唔夠清楚(即頭一套的式1 = 後一套的式4),用後一套片補充就清楚晒,建議一齊開著看:

這套片有講總能E(=mc^2)=靜能m0c^2+動能K,所以比較全面。
[url=https://www.youtube.com/watch?v=1yF0PO6lidg]https://www.youtube.com/watch?v=1yF0PO6lidg[/url]


這套片若最尾那積分設上限m下限m0,得出E=(m-m0)c^2 更佳。
可惜關於總能E(=mc^2)=靜能m0c^2+動能K就無講,稍欠全面。
[url=https://www.youtube.com/watch?v=JtU5psQTM4Y]https://www.youtube.com/watch?v=JtU5psQTM4Y[/url]

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-9-6 09:08 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2018-9-7 01:03 PM

上帖兩條片都說 m=m0 x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2,眼利的版友又可能問怎來的?
其實這是借助 relativistic momentum 引申出 relativistic mass:
p0=m0v
rel. p=p0 x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2
rel. p=m0v x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2
rel. mv=m0v x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2
cancel v, so
rel. m=m0 x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2
可省略 "rel. "
m=m0 x 1/[(1-v^2/c^2)]^1/2

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-9-7 01:16 PM 編輯 [/i]]
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