# 查看完整版本 : 數學謎題車輪陣 (二)

rhwlam 2018-11-12 02:34 PM

## 數學謎題車輪陣 (二)

[b]破陣英雄榜[/b]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-15 03:25 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-12 02:39 PM

[b]第01題[/b]

f(x) + f(y) = f( (x + y) / (1 - xy) )

XMing 2018-11-12 03:48 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-12 02:39 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490424629&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

f(x) + f(y) = f( (x + y) / (1 - xy) )

when x=0, y=0, we get f(0)=0
Fix y, differentiate w.r.t x on both sides and use chain rule and quotient rule for differentiation , we get
f'(x)=f'((x+y)/(1-xy)) * [(1-xy)(1)-(x+y)(-y)]/[(1-xy)^2]
=f'((x+y)/(1-xy)) * (1+y^2)/(1-xy)^2
Since y can be any real number except 1/x (since xy<>1)
Let y=-x, xy=-x^2<=0, so xy<>1, then we obtain the following differential  equation
f'(x)=f'(0)* (1+x^2)/(1+x^2)^2=f'(0)/(1+x^2)
If f'(0)=0, then f(x)=c where c is constant but f(0)=0 therefore f(x)=0
If f'(0)<>0, then solve the DE f'(x)=f'(0)/(1+x^2)
f(x)=f'(0)arctan(x)+f(0)=f'(0)arctan(x)

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-12 10:52 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-12 10:05 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-12 15:48 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490427391&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
when x=0, y=0, we get f(0)=0
Fix y, differentiate w.r.t x on both sides and use chain rule and quotient rule for differentiation , we get
f'(x)=f'((x+y)/(1-xy)) * [(1-xy)(1)-(x+y)(-y)]/[(1-xy)^2]
... [/quote]

XMing 2018-11-12 10:47 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-12 10:05 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490444222&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

XMing 2018-11-16 10:59 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-12 03:48 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490427391&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

when x=0, y=0, we get f(0)=0
Fix y, differentiate w.r.t x on both sides and use chain rule and quotient rule for differentiation , we get
f'(x)=f'((x+y)/(1-xy)) * [(1-xy)(1)-(x+y)(-y)]/[(1-xy)^2]
... [/quote]

[font=新細明體][/font]其實好像有點不妥.
[font=新細明體][/font]對所有實數 x,y (xy<>1) 滿足f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy))..... (1)
[font=新細明體][/font]必滿足微分方程 f(x)=f'(0)/(1+x^2) 及f(0)=0
[font=新細明體][/font]而它的解是 f(x)=f'(0)atan(x)
[font=新細明體][/font]但是反轉過來, 未必所有解都會使 (1) 成立.
[font=新細明體][/font]例如: 假如f'(0)=1, f(x)=atan(x)
[font=新細明體][/font]x=2, y=3
[font=新細明體][/font]f(2)=arctan(2)=1.107149
[font=新細明體][/font]f(3)=arctan(3)=1.249046
[font=新細明體][/font]f((2+3)/(1-2*3))=f(-1)=arctan(-1)=-0.7854
[font=新細明體][/font]好明顯,f(2)+f(3)<>f((2+3)/(1-2*3))
[font=新細明體][/font]所以, 只有f(x)=0 才可以令 (1) 成立.
[font=新細明體][/font]

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-16 11:03 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-16 11:21 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-16 10:59 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490616983&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

x=2, y=3
f( ... [/quote]
XMing兄的求真精神, 令人佩服!

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-11-16 11:42 AM 編輯 [/i]]

XMing 2018-11-16 12:09 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-16 11:21 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490617969&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

XMing兄的求真精神, 令人佩服!

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-16 12:10 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-16 12:23 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-16 12:09 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490620490&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

atan(0.9) = 0.733
atan([(0.9+0.9)/(1 - 0.9*0.9)]) = 1.466

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-11-22 07:16 PM 編輯 [/i]]

XMing 2018-11-16 12:37 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-16 12:23 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490621209&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

atan(0.9) = 0.733
atan([(0.9+0.9)/(1 - 0.9*0.9)]) = 1.466

-1<x<1的條件是在1/(1+x^2)的integral出來的.

(1) Domain (2) rule to assign each element of domain to range. (3) Range

rhwlam 2018-11-16 12:50 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-16 12:37 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490621856&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

(1) Domain (2) rule to assign each element of domain to range. (3) Range

... [/quote]

rhwlam 2018-11-16 04:42 PM

[b]第02題[/b]

[attach]9008773[/attach]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-11-16 04:45 PM 編輯 [/i]]

XMing 2018-11-17 12:20 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-16 04:42 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490632515&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9008773

(2^k-1)/(2^k)*(pi/2) ?

rhwlam 2018-11-17 12:35 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-17 12:20 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490667044&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
(2^k-1)/(2^k)*(pi/2) ? [/quote]

XMing 2018-11-18 11:01 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-17 12:35 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490667697&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Integral [0 inf] (sin x/x) dx = pi/2
Let u=kx. It can be easily prove that
Integral [0 inf] (sin kx/x) dx = pi/2
sin kx (cos x)^k=(sin kx cos x) (cos x)^(k-1)
=1/2*(sin(k+1)x+sin(k-1)x) (cos x)^(k-1)
=1/2*(sin(k+1)x cos x + sin(k-1)x cos x) (cos x)^(k-2)
=1/4*(sin(k+2)x+2sin(kx)+sin(k-1)x) (cos x)^(k-2)
=...
=1/(2^k)*(sin(2k)x+kC1sin(2(k-1)x)+kC2sin(2(k-2)x)+...+kC(k-1)sin2x)
Note that 1+kC1+kC2+...+kC(k-1)=2^k-1
QED

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-18 11:04 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-18 09:31 PM

[b]第03題[/b]

[attach]9018112[/attach]
x和y皆為實數.

[b]註:[/b] 這題難度應該較高, 推論亦可能較冗長.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-11-21 10:51 PM 編輯 [/i]]

XMing 2018-11-19 04:47 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-18 09:31 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490737489&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9018112
x和y皆為實數.

0.73-0.74 ?

rhwlam 2018-11-21 11:19 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-19 16:47 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490773553&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
0.73-0.74 ? [/quote]

XMing 2018-11-21 11:31 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-21 11:19 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490898177&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-21 11:35 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-22 12:23 AM

- 先解出y^3 + y^2*x + (-x^2)*y + (-x^3-1) = 0 中y的實數解. 當中要順便證明出當x>=0時y只有一個實數解.
- 我們現將積分轉為:
[attach]9030111[/attach][b][color=#ff0000](這個積分是錯的, 抱歉! 更改了的積分在帖#23)[/color][/b]
(如有高手如何處理以上積分, 請告知, 感謝! 那麼, 便不用以下愚笨的數值積分了...)
- 若考慮f(x) = 4/3[(x^3 + 27/16)^(1/3) - x], f(x)的收斂要比一些擁有有限積分值的函數(如1/(1+x^2))要快, 因此f(x)的積分會有一個有限的收斂值.
- 若以1/(1+x^2)作為參考, 其由x=0至無限的積分為arctan(x) (= 1.57), 若我們只由x=0至80作積分, 結果(1.558)只會有<1%的誤差.
- 因此, 我們可以考慮由x=0至80對f(x)作出數值積分, 第一次嘗試為[f(0)+f(80)]*80/2 (梯形面積), 第二次嘗試可以為[f(0)+f(40)]*40/2 + [f(40)+f(80)]*40/2 (兩個梯形面積總和).
(其實, 以下我是利excel代替了計算機)
- 直至第7次嘗試, 當我們將這個積分分拆64個梯形的總和時, 我們大概知道答案為1.7或1.8. 我們只要求誤差為<2.5%, 所以其實我們只需考慮積分至x~40.
- 第8次嘗試: 由x=0至x=40的區間, 我們將f(x)的積分計算128個梯形的總和, 我們就可得出答案為~1.7.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-11-22 11:36 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-22 12:25 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-21 23:31 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490898719&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

XMing 2018-11-22 01:04 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-22 12:23 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490900921&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

- 先解出y^3 + y^2*x + (-x^2)*y + (-x^3-1) = 0 中y的實數解. 當中要順便證明出當x>=0時y只有一個實數解.
- 我們現將積分轉為:

(如有高手如何處理以上積分, 請告知, 感謝! 那麼, 便不用以下愚笨的數值積分了...)
- 若考慮f(x) = 4/3[(x^3 + 27/16)^(1/3) - x], f(x)的收斂要比一 ... [/quote]

f(0)=4/3(27/16)^(1/3)<>1

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-22 11:02 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-22 11:33 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-22 01:04 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490902110&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

[attach]9031173[/attach]

XMing 2018-11-22 04:01 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-22 11:33 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490915556&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9031173

f(x)=(8/27x^3+1/2+sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)+(8/27x^3+1/2-sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)-4/3x

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-22 04:08 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-22 05:18 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-22 11:33 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490915556&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9031173

- 先解出y^3 + y^2*x + (-x^2)*y + (-x^3-1) = 0 中y的實數解. 當中要順便證明出當x>=0時y只有一個實數解.
- 我們現將積分轉為:
[attach]9032168[/attach]
(如有高手如何處理以上積分, 請告知, 感謝! 那麼, 便不用以下愚笨的數值積分了...)
- 若考慮以上積分符号內的函數為f(x), 即f(x) = (...)^(1/3) - (...)^(1/3) - 4x/3, f(x)的收斂要比一些擁有有限積分值的函數(如1/(1+x^2))要快, 因此f(x)的積分會有一個有限的收斂值.
- 若以1/(1+x^2)作為參考, 其由x=0至無限的積分為arctan(x) (= 1.57), 若我們只由x=0至80作積分, 結果(1.558)只會比最後答案少<1%.
- 因此, 我們可以考慮由x=0至80對f(x)作出數值積分, 第一次嘗試為[f(0)+f(80)]*80/2 (梯形面積), 第二次嘗試可以為[f(0)+f(40)]*40/2 + [f(40)+f(80)]*40/2 (兩個梯形面積總和).
(其實, 以下我是利excel代替了計算機)
- 直至第10次嘗試, 當我們將這個積分分拆512個梯形的總和時, 我們大概知道答案為0.748861.
- 直至第11次嘗試, 當我們將這個積分分拆1024個梯形的總和時, 我們大概知道答案為0.747555.
- 我們可以知道, 至x=80積分會比0.747555 - (0.748861-0.747555) = 0.746249為大, 同時只會比x-->'無限'的答案少<1%.
- 所以答案為~0.75.

XMing 2018-11-22 05:38 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-22 05:18 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490930521&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

- 先解出y^3 + y^2*x + (-x^2)*y + (-x^3-1) = 0 中y的實數解. 當中要順便證明出當x>=0時y只有一個實數解.
- 我們現將積分轉為:
9032168
(如有高手如何處理以上積分, 請告知, 感謝! 那麼, 便不用以下愚笨的數值積分了...)
- 若考慮以上積分符号內的函數為f(x), 即f(x) = (...)^(1/3) - ... [/quote]

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-22 05:45 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-11-22 07:54 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-22 17:38 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490931482&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

XMing 2018-11-22 11:29 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-22 05:18 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490930521&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

- 先解出y^3 + y^2*x + (-x^2)*y + (-x^3-1) = 0 中y的實數解. 當中要順便證明出當x>=0時y只有一個實數解.
- 我們現將積分轉為:
9032168
(如有高手如何處理以上積分, 請告知, 感謝! 那麼, 便不用以下愚笨的數值積分了...)
- 若考慮以上積分符号內的函數為f(x), 即f(x) = (...)^(1/3) - ... [/quote]

(z-x/3)^3+x(z-x/3)^2-x^2(z-x/3)-x^3-1=0

z^3-4/3x^2z-16/27x^3-1=0

p=-4/3x^2,
q=-16/27x^3-1
D=q^2/4+p^3/27=8/27x^3+1/4

=(8/27x^3+1/2+sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)+(8/27x^3+1/2-sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)
y=z-x/3=(8/27x^3+1/2+sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)+(8/27x^3+1/2-sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)-x/3
f(x)=y-x=(8/27x^3+1/2+sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)+(8/27x^3+1/2-sqrt(8/27x^3+1/4))^(1/3)-4x/3

rhwlam 2018-11-23 12:33 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2018-11-22 23:29 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490945459&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

XMing 2018-11-24 11:21 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-11-23 12:33 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=490947476&ptid=27845599][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2018-11-25 12:37 AM 編輯 [/i]]