查看完整版本 : 三/四/五次多項方程公式解

NIK9527 2020-11-24 12:10 PM

三/四/五次多項方程公式解

[url=https://www.youtube.com/watch?v=Sjj3Z43NUz8]https://www.youtube.com/watch?v=Sjj3Z43NUz8[/url]


Wow!跟得非常辛苦,終於大致上明條式怎砌的。:smile_35:

PS. 完成三次後才談四次和五次。


此片講如何求解二三四五次方程::smile_35:

[url=https://www.youtube.com/watch?v=JRcJ3iyTHhs]https://www.youtube.com/watch?v=JRcJ3iyTHhs[/url]


三次方程公式解另一方法:

Cubic Equation 一元三次方程式


一元三次方程式之公式解在中學時並不會提起,通常只有在特定係數下進行因式分解才能得到三個根,而作者在此介紹一元三次方程式的常用公式解法。

首先,我們先討論下面這個方程式

[img]https://lh5.googleusercontent.com/-46JR7g8dwPY/T7ZPG1lH7RI/AAAAAAAAAFY/dZ6Y-78HlV0/s366/cubic%2520equation%2520-%2520001.png[/img]

[img]http://3.bp.blogspot.com/-xLNYKOr9hBE/T7ZPZ4AL3qI/AAAAAAAAAFg/Vdr29Q_xvrg/s320/cubic+equation+-+002.png[/img]

將其等式左右三次方後展開並整理一下可以得到

[img]https://lh5.googleusercontent.com/-OZhK0GCIocc/T7ZQS8Rj12I/AAAAAAAAAGM/U7WAURYWFuE/s912/cubic%2520equation%2520-%2520003.png[/img]

[img]https://lh6.googleusercontent.com/-iUhn6ujsnoQ/T7ZQQsVBJ1I/AAAAAAAAAFs/LmQUUychsJY/s496/cubic%2520equation%2520-%2520004.png[/img]

比較係數後可以得到 ... (*)

[img]https://lh3.googleusercontent.com/-JHtxk48kWMQ/T7Zdk8Nh2-I/AAAAAAAAAII/PwBGA0PPdkw/s484/cubic%2520equation%2520-%2520005.png[/img]
現在我們可以寫出一個一元二次方程式,使方程式的兩根為 u3 , v3

假設下列方程式

[img]https://lh6.googleusercontent.com/-6AwigCIBYhc/T7ZQRA1_niI/AAAAAAAAAF0/NmPTFLa5i7M/s342/cubic%2520equation%2520-%2520006.png[/img]

[img]https://lh4.googleusercontent.com/--ohpHCW2bcE/T7ZWmMGBBaI/AAAAAAAAAGo/G66o8uL8Vds/s366/cubic%2520equation%2520-%2520007.png[/img]

為了簡化式子,我們可以再假設

[img]https://lh3.googleusercontent.com/-k_RWFwvSgoo/T7ZZ5BtYAzI/AAAAAAAAAHU/GFtkV5-k0fc/s803/cubic%2520equation%2520-%2520008.png[/img]

根據 (*) ,我們可以得到此三次方程式的三根為

[img]https://lh5.googleusercontent.com/-1GtIFWBKi4M/T7ZckeKdfHI/AAAAAAAAAHo/gYXHvE2f2ZA/s578/cubic%2520equation%2520-%2520009.png[/img]

[img]https://lh4.googleusercontent.com/-kDX6wkpNLU4/T7ZckT_wlPI/AAAAAAAAAHs/Dme26wGThv4/s543/cubic%2520equation%2520-%2520010.png[/img]

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-12-25 08:37 PM 編輯 [/i]]

NIK9527 2020-11-26 11:50 AM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-11-24 12:10 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528063290&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
https://www.youtube.com/watch?v=Sjj3Z43NUz8


Wow!跟得非常辛苦,終於大致上明條式怎砌的。:smile_35: [/quote]
在下有一疑問,希望版友助我解決:

影片結尾之詳盡公式有三個根解,對於三次方程,這無疑是合理的,但在下發現可能需要加多兩個根,理據如下:

為了簡化,在下已將公式的根的尾兩項以A和B代表:

根1: x=-b/3a + A + B
根2: x=-b/3a + Aω + Bω^2
根3: x=-b/3a + Aω^2 + Bω

在下的問題是,以上組合,為何不能有以下兩個組合呢?
根4: x=-b/3a + Aω + Bω
根5: x=-b/3a + Aω^2 + Bω^2

若果無理據能排除這兩個組合,那麼豈不三次多項方程可以有五個根?:smile_41:

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-11-26 12:09 PM 編輯 [/i]]

XMing 2020-11-26 12:57 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-11-26 11:50 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528155443&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

在下有一疑問,希望版友助我解決:

影片結尾之詳盡公式有三個根解,對於三次方程,這無疑是合理的,但在下發現可能需要加多兩個根,理據如下:

為了簡化,在下已將公式的根的尾兩項以A和B代表:

根1: x=-b/3a + A + B
根2: x=-b/3a + Aω + Bω^2
根3: x=-b/3a + Aω^2 + Bω

在下的問題是,以上組合,為何不能有以下兩個組合 ... [/quote]
z=A, wA, w^2A, w^3=1,
-l/(3A)=B
y=z-l/(3z),
當z=A, y=A-l/(3A)=A+B
當z=wA, y=wA-l/(3wA)=wA+w^2B
當z=w^2A, y=w^2A-l/(3w^2A)=w^2A+wB
最主要係最尾兩項相乘要=-l/3=AB

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2020-11-26 01:17 PM 編輯 [/i]]

XMing 2020-11-26 06:03 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-11-26 12:57 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528157809&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

z=A, wA, w^2A, w^3=1,
-l/(3A)=B
y=z-l/(3z),
當z=A, y=A-l/(3A)=A+B
當z=wA, y=wA-l/(3wA)=wA+w^2B
當z=w^2A, y=w^2A-l/(3w^2A)=w^2A+wB
最主要係最尾兩項相乘要=-l/3=AB [/quote]
z 是6次方程, 其6個根為
A, wA, w^2A, B, wB, w^2B
因為片中計算l/(3A)=-B
故將6個z的根代入y=z-l/(3z)
分別有
y=A-l/(3A)=A+B
y=wA-l/(3wA)=wA+w^2B i.e. 1/w=w^2
y=w^2A-l/(3w^2A)=w^2A+wB
y=B-1/(3B)=B+A
y=wB-1/(3wB)=wB+w^2A
y=w^2B-1/(3w^2B)=w^2B+wA
所以有些數值是重覆的.
實則 y 只有三個數值 A+B, wA+w^2B, w^2A+wB
即為 y^3+ly+m=0 的三個根.

NIK9527 2020-11-26 09:29 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-11-26 06:03 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528170006&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

z 是6次方程, 其6個根為
A, wA, w^2A, B, wB, w^2B
因為片中計算l/(3A)=-B
故將6個z的根代入y=z-l/(3z)
分別有
y=A-l/(3A)=A+B
y=wA-l/(3wA)=wA+w^2B i.e. 1/w=w^2
y=w^2A-l/(3w^2A)=w^2A+wB
y=B-1/(3B)=B+A
y=wB-1/(3wB)=wB+w^2A ... [/quote]
你的睇法我都有諗過,但從未諗過1/w=w^2喎!可否解釋點解1/w=w^2呢?

XMing 2020-11-26 09:41 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-11-26 09:29 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528177351&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

你的睇法我都有諗過,但從未諗過1/w=w^2喎!可否解釋點解1/w=w^2呢? [/quote]
x^3=1 有三個根 1, w, w^2 即 w^3=1 => w^2=1/w, w=1/w^2

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2020-11-26 10:34 PM 編輯 [/i]]

NIK9527 2020-11-27 11:09 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-11-26 09:41 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528177907&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

x^3=1 有三個根 1, w, w^2 即 w^3=1 => w^2=1/w, w=1/w^2 [/quote]
OMG! 原來咁簡單!:smile_14: 謝謝!:handshake
w^3=1
1/w = w^3/w = w^2
1/w^2 = w^3/w^2 = w


特此再貼閣下的解釋::smile_35:

z 是6次方程, 其6個根為
A, wA, w^2A, B, wB, w^2B
因為片中計算l/(3A)=-B
故將6個z的根代入y=z-l/(3z)
分別有
y=A-l/(3A)=A+B
y=wA-l/(3wA)=wA+w^2B i.e. 1/w=w^2
y=w^2A-l/(3w^2A)=w^2A+wB
y=B-1/(3B)=B+A
y=wB-1/(3wB)=wB+w^2A
y=w^2B-1/(3w^2B)=w^2B+wA
所以有些數值是重覆的.
實則 y 只有三個數值 A+B, wA+w^2B, w^2A+wB
即為 y^3+ly+m=0 的三個根.:smile_o12::smile_o12:


影片若能補上以上資料就更有利於讀者完全掌握了。:smile_45:

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-11-27 11:58 AM 編輯 [/i]]

pycicamn 2020-12-1 12:39 AM

是否一元三次方程?:smile_41:

NIK9527 2020-12-1 09:37 PM

[quote]原帖由 [i]pycicamn[/i] 於 2020-12-1 12:39 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528352210&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
是否一元三次方程?:smile_41: [/quote]
是的,因方程式只有x一個變元。:loveliness:

NIK9527 2020-12-1 09:41 PM

本帖想繼續學習四次多項方程公式解,歡迎版友分享心得。:loveliness:

MrCU204 2020-12-2 05:09 PM

ax³ ≠ (ax)³
(mx±ny)³ = (mx)³±3▪(mx)²▪(ny)+3▪(mx)▪(ny)²±(ny)³

MrCU204 2020-12-2 05:17 PM

即係話,
a=m³ ,b=3nm² ,c=3mn² ,d=n³    。

MrCU204 2020-12-2 06:55 PM

成條式咁多個數加埋等於零,咁除非 X 係零,或者 a b c d 係晒零,
又或者係  m+n 嘅任何次方,mn其中一個代表負數而且 |m|=|n| 。

NIK9527 2020-12-2 09:30 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-12-1 09:41 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528388610&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
本帖想繼續學習四次多項方程公式解,歡迎版友分享心得。:loveliness: [/quote]
這套片話計到,可惜無詳細steps做到尾。:smile_35:

[color=#000080][b]注意:本帖發覺以下影片想將方程式的a=1才去計:smile_51:,若是如此,最後得出的公式解就會無a,就不完整了,所以建議版友仍以a=變數去考慮[/b][b]。:smile_45:[/b][/color]

[url=https://www.youtube.com/watch?v=pO7ra88u2ko]https://www.youtube.com/watch?v=pO7ra88u2ko[/url]

為人為到底,做到以下答案就話ok啫!:L:L:L

[url=https://www.mrmath.com/misfit/algebra-stuff/the-cubic-and-quartic-formulas/]https://www.mrmath.com/misfit/algebra-stuff/the-cubic-and-quartic-formulas/[/url]

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-12-4 12:14 PM 編輯 [/i]]

NIK9527 2020-12-3 11:55 AM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-12-2 09:30 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528436059&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

這套片話計到,可惜無詳細steps做到尾。:smile_35:

https://www.youtube.com/watch?v=pO7ra88u2ko

為人為到底,做到以下答案就話ok啫!:L:L:L

https://www.mrmath.com/misfit/algebra-stuff/the-cubic-and-quartic-formulas/ [/quote]
好了,此片有詳細步驟,但需要放大看::smile_35:

[color=#000080][b]注意:本帖發覺以下影片先將方程式的a=1才去計[/b]:smile_51:[b],最後將不能得完整的求解公式(因a=1就無a了),所以不鼓勵版友採用,只能作參考。[/b]:smile_45:[/color]


三次方程式的公式解
[url=https://www.youtube.com/watch?v=XmA4Jcz6qS8]https://www.youtube.com/watch?v=XmA4Jcz6qS8[/url]

四次方程式的公式解
[url=https://www.youtube.com/watch?v=J5TifRJncWQ]https://www.youtube.com/watch?v=J5TifRJncWQ[/url]

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-12-4 12:17 PM 編輯 [/i]]

MrCU204 2020-12-3 07:07 PM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2-12-2020 17:09 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528423895&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
ax³ ≠ (ax)³
(mx±ny)³ = (mx)³±3▪(mx)²▪(ny)+3▪(mx)▪(ny)²±(ny)³ [/quote]
如果冇y,就變成 (mX+n)³ ,
展開就係  m³X³+3nm²X²+3n²mX+n³
咁樣,a係m³ ,b係3m²n ,c係3n²m ,d係n³ ,
喺標題入便,a b c d 究竟同喱個關系符合唔符合,唔知,斷估嚟做亦不過係 因式分解,變咗做 (mX+n)³=0  咁咋啵,係 因式分解 唔係求解,求解求嘅係 X 嘅值,X=-n/m  至係解。

NIK9527 2020-12-4 12:40 PM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2020-12-3 07:07 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528477232&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果冇y,就變成 (mX+n)³ ,
展開就係  m³X³+3nm²X²+3n²mX+n³
咁樣,a係m³ ,b係3m²n ,c係3n²m ,d係n³ ,
喺標題入便,a b c d 究竟同喱個關系符合唔符合,唔知,斷估嚟做亦不過係 因式分解,變咗做 (mX+n)³=0  咁咋啵,係 因式分解 唔係求解,求解求嘅係 X 嘅值,X=-n/m  至係解。 [/quote]
X=-n/m  至係解?:smile_53:

三次方程有三個根喎!;P

XMing 2020-12-4 01:18 PM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2020-12-3 07:07 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528477232&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果冇y,就變成 (mX+n)³ ,
展開就係 m³X³+3nm²X²+3n²mX+n³
咁樣,a係m³ ,b係3m²n ,c係3n²m ,d係n³ ,
喺標題入便,a b c d 究竟同喱個關系符合唔符合,唔知,斷估嚟做亦不過係 因式分解,變咗做 (mX+n)³=0 咁咋啵,係 因式分解 唔係求解,求解求嘅係 X 嘅值,X=-n/m 至係解。 [/quote]
1) a,b,c,d 是任意的, 未必一定有 a=m^3, b=3m^2n, c=3n^2m, d=n^3
例如二次方程 ax^2+bx+c=0, 都唔會限定 a,b,c 有關係.

2) 如果a,b,c,d 真係有 a=m^3, b=3m^2n, c=3n^2m, d=n^3
如: x^3+3x^2+3x+1=0, m=1, n=1, x=-n/m=-1. 但 x 是三重根, 並不是只有一個根.
又如 x^3+2x^2+3x+4=0, a,b,c,d 就沒有這個關係. 不能用這方法解方程了.

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2020-12-4 01:58 PM 編輯 [/i]]

MrCU204 2020-12-4 07:43 PM

(mX+n)³=(mX+n)(mX+n)(mX+n)=0
一個括號零咗,成條式就零,喱條式因為三個括號入便嘅嘢一樣,所以得一個解。

NIK9527 2020-12-4 09:30 PM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2020-12-4 07:43 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528524646&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
(mX+n)³=(mX+n)(mX+n)(mX+n)=0
一個括號零咗,成條式就零,喱條式因為三個括號入便嘅嘢一樣,所以得一個解。 [/quote]
三次方程有三個根的。:smile_35:

MrCU204 2020-12-4 10:38 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 4-12-2020 21:30 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528529691&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

三次方程有三個根的。:smile_35: [/quote]
(X+a)(X+b)(X+c)=0 ,
咁喱條三次方程式就真係有三個根嘞,
X 等於 -a,-b,-c,條式都零得。

NIK9527 2020-12-5 11:11 AM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2020-12-4 10:38 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528532575&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

(X+a)(X+b)(X+c)=0 ,
咁喱條三次方程式就真係有三個根嘞,
X 等於 -a,-b,-c,條式都零得。 [/quote]
我指三次方程 x^3-1=0 的確有三個根x=1, ω, ω^2嗎!
你的三次方程 (x-1)^3=0 的確只得一個根x=1
:smile_35:

NIK9527 2020-12-5 11:25 AM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-12-4 01:18 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528508495&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

1) a,b,c,d 是任意的, 未必一定有 a=m^3, b=3m^2n, c=3n^2m, d=n^3
例如二次方程 ax^2+bx+c=0, 都唔會限定 a,b,c 有關係.

2) 如果a,b,c,d 真係有 a=m^3, b=3m^2n, c=3n^2m, d=n^3
如: x^3+3x^2+3x+1=0, m=1, n=1, x=-n/m=-1. 但 x 是三重根, 並不是只有一個根 ... [/quote]
x^3+3x^2+3x+1=0, m=1, n=1, x=-n/m=-1. [color=#000080][b]但 x 是三重根, 並不是只有一個根[/b][/color]<<<<<<<<<<<<<<

上式來自(x+1)^3=0,只得一根,x=-1

x^3+1=0 的x才是三重根, x=-1,-ω,-ω^2

NIK9527 2020-12-5 11:46 AM

[quote]原帖由 [i]MrCU204[/i] 於 2020-12-3 07:07 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528477232&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果冇y,就變成 (mX+n)³ ,
展開就係  m³X³+3nm²X²+3n²mX+n³
咁樣,a係m³ ,b係3m²n ,c係3n²m ,d係n³ ,
喺標題入便,a b c d 究竟同喱個關系符合唔符合,唔知,斷估嚟做亦不過係 因式分解,變咗做 (mX+n)³=0  咁咋啵,係 因式分解 唔係求解,求解求嘅係 X 嘅值,X=-n/m  至係解。 [/quote]
符合唔符合?:smile_53:

不符合囉!其實好簡單,若你能因式分解的三次方程,就無需用公式解啦!

公式解是用來解那些沒有其它方法解的方程嗎!;P

XMing 2020-12-5 11:48 AM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-12-5 11:25 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528545927&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

x^3+3x^2+3x+1=0, m=1, n=1, x=-n/m=-1. 但 x 是三重根, 並不是只有一個根<<<<<<<<<<<<<<

上式來自(x+1)^3=0,只得一根,x=-1

x^3+1=0 的x才是三重根, x=-1,-ω,-ω^2 [/quote]
#17, #20 你話三次方程有三個根.
而家你又話 (x+1)^3=0 只得一個根.
餵, 咁邊樣先啱? 唔好話比我聽 (x+1)^3=0 唔係三次方程式.

XMing 2020-12-5 11:52 AM

[url=https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86]代數基本定理 - 維基百科,自由的百科全書 (wikipedia.org)[/url]

請註意重根為多個根.

NIK9527 2020-12-5 12:08 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-12-5 11:48 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528546655&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

#17, #20 你話三次方程有三個根.
而家你又話 (x+1)^3=0 只得一個根.
餵, 咁邊樣先啱? 唔好話比我聽 (x+1)^3=0 唔係三次方程式. [/quote]
文字表達不夠精準出事囉!:smile_30:

精準地說,三次方程式有兩種,一種有三個根解,另一種只有一個根解。

例如
(x+1)^3=0,只得一根,x=-1
x^3+1=0 的x才是三重根, x=-1,-ω,-ω^2

[[i] 本帖最後由 NIK9527 於 2020-12-5 12:13 PM 編輯 [/i]]

XMing 2020-12-5 12:16 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-12-5 12:08 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528547255&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

文字表達不夠精準出事囉!:smile_30:

精準地說,三次方程式有兩種,一種有三個根解,另一種只有一個根解。 [/quote]
請睇番#26

其實都係錯. (x-2)^2(x-1)=0. 照你的邏輯只有二個根, 所以不只兩種.

如果重數唔計, 假如你告訴別人這個多項式方程有一個根, 假如係 a, 人地都唔知個多項式會 係 x-a, (x-a)^2, (x-a)^3, ...

NIK9527 2020-12-5 09:30 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2020-12-5 11:52 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528546781&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
代數基本定理 - 維基百科,自由的百科全書 (wikipedia.org)

請註意重根為多個根. [/quote]
三重根名詞其實很易引起誤會,代數基本定理雖然說三重根指方程式三個重複的根,但嚴格上而言,只是一個根。

XMing 2020-12-5 10:13 PM

[quote]原帖由 [i]NIK9527[/i] 於 2020-12-5 09:30 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=528568706&ptid=29558682][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

三重根名詞其實很易引起誤會,代數基本定理雖然說三重根指方程式三個重複的根,但嚴格上而言,只是一個根。 [/quote]
我不知道會引起什麼誤會.
假如我只知方程有三個根, 1, 2, 3, 重根當一個計. 我都唔知原方程是什麼
可能是 (x-1)(x-2)(x-3)=0 又可能是 (x-1)(x-2)^2(x-3)^3=0, 又可能是 (x-1)^3(x-2)^2(x-1)

但是如果可知道方程有三個根為 1,2,3, 2為二重根, 1和3為單根 則方程為 (x-1)(x-2)^2(x-3)=0
重根數學上係唔會當係一個根.

其實我對這個題目是很有興趣的. 在中學時期巳知道三次方程和四次方程的解法, 亦知道五次以上的方程是沒有根式解的. 用Galois theory可以證明這個定理. 可惜至今還不太了解整個定理.
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查看完整版本: 三/四/五次多項方程公式解