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快閃黨1號 2021-1-2 06:41 AM

Infinite series

有次讀到Ramanujan Summation
就自己試吓, 結果就整咗呢個出黎
[attach]11967744[/attach]
雖然無可能, 但都幾好玩,
應該無人咁做過,
有的話請告之

xianrenb 2021-1-2 10:01 AM

[quote]原帖由 [i]快閃黨1號[/i] 於 2021-1-2 06:41 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529756623&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
有次讀到Ramanujan Summation
就自己試吓, 結果就整咗呢個出黎
11967744
雖然無可能, 但都幾好玩,
應該無人咁做過,
有的話請告之 [/quote]
[url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+tan%28x%29]https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+tan%28x%29[/url]

好似中學老師提過下,至少某個角度下看, tan((π/2)^(-)) = tan(π/2) = tan((π/2)^(+)) 。
所以可以當 tan(π/2) = +/- oo 。
不過正統說法就不清楚。

快閃黨1號 2021-1-2 10:11 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-2 10:01 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529759555&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+tan%28x%29

好似中學老師提過下,至少某個角度下看, tan((π/2)^(-)) = tan(π/2) = tan((π/2)^(+)) 。
所以可以當 tan(π/2) = +/- oo 。
不過正統說法就不清楚。 [/quote]
都幾有趣,
可能由tan都屈到出黎

rhwlam 2021-1-2 12:58 PM

[quote]原帖由 [i]快閃黨1號[/i] 於 2021-1-2 06:41 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529756623&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
有次讀到Ramanujan Summation
就自己試吓, 結果就整咗呢個出黎
11967744
雖然無可能, 但都幾好玩,
應該無人咁做過,
有的話請告之 [/quote]
S1和s2的項的數目皆為雙數。問題在於1-(s1+s2)總會多了最後一個正數,大於前面所有項的加/減總。所以1-(s1+s2)是正無限,不等於s2(項的數目不一樣)。

XMing 2021-1-2 03:25 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2021-1-2 12:58 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529765079&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

S1和s2的項的數目皆為雙數。問題在於1-(s1+s2)總會多了最後一個正數,大於前面所有項的加/減總。所以1-(s1+s2)是正無限,不等於s2(項的數目不一樣)。 [/quote]
S1和S2都是infinite series. 應該是無窮項, 項數不會是單數或雙數.
Ramanujan summation, 應該有另一重意義或另一定義, 不是普通用infinite series 算出來的.

rhwlam 2021-1-2 06:15 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2021-1-2 15:25 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529770390&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

S1和S2都是infinite series. 應該是無窮項, 項數不會是單數或雙數.
Ramanujan summation, 應該有另一重意義或另一定義, 不是普通用infinite series 算出來的. [/quote]
如果s1 和s2不是雙數項,s1為什麼不可以1,s2又為什麼不可以是正無限?謝指教。

XMing 2021-1-2 08:05 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2021-1-2 06:15 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529776484&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果s1 和s2不是雙數項,s1為什麼不可以1,s2又為什麼不可以是正無限?謝指教。 [/quote]
喺我既認知裡面,一般infinite series都不會有雙數項或單數項(因為項數無限)(除非你係講第幾項). 同埋infinite series 只有convergent 或divergent.
只有convergent series才會有finite sum.

要兩個series可以每項相加等於兩個series的sum的總和,只有兩個series都為convergent series才可做到
S1 convergent series. S1=0, S2為divergent series 我認為沒有sum.
惡搞兩個 series 而其中一個為divergent series沒有意思.

rhwlam 2021-1-2 08:15 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2021-1-2 20:05 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529779878&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

喺我既認知裡面,一般infinite series都不會有雙數項或單數項(因為項數無限)(除非你係講第幾項). 同埋infinite series 只有convergent 或divergent.
只有convergent series才會有finite sum.

要兩個series可以每項相加等於兩個series的sum的總和,只有兩個series都為convergent seri ... [/quote]
謝謝指教!

快閃黨1號 2021-1-2 09:34 PM

像#4所講, 以我所明白, 1-(S1+S2)既右邊雖然睇落似S2, 但就破壞了infinite series既order, 所以唔得, 不過個人覺得幾過癮, 純粹滿足吓自己

xianrenb 2021-1-3 09:22 AM

或者以下值得思考一下。
let
S = Σ_{i=0..+oo} x^i ...(1)

S - x S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - x (Σ_{i=0..+oo} x^i)
(1 - x) S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - (Σ_{i=0..+oo} x^(i+1))
(1 - x) S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - (Σ_{i=1..+oo} x^i)
(1 - x) S = x^0 + (Σ_{i=1..+oo} x^i) - (Σ_{i=1..+oo} x^i)
(1 - x) S = x^0
(1 - x) S = 1
S = 1/(1 - x) ...(2)

所以
1 + (1/2) + (1/4) + ...
= (1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 + ...
= Σ_{i=0..+oo} (1/2)^i
= S_{x = 1/2}
= 1/(1 - 1/2)
= 1/(1/2)
= 2

但要留意的是, (2) 式的計算過程中,兩個 summation 其實算有移位過。
這個方法是對還是錯呢?

Zzlaz 2021-1-3 11:01 AM

呢 d玩法真係睇到頭都大埋。。。:ph_07::ph_15:

ramanujan出名就係腦海入面有大量這類的算式/公式推導

xianrenb 2021-1-3 12:04 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-3 09:22 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529797203&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
或者以下值得思考一下。
let
S = Σ_{i=0..+oo} x^i ...(1)

S - x S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - x (Σ_{i=0..+oo} x^i)
(1 - x) S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - (Σ_{i=0..+oo} x^(i+1))
(1 - x) S = (Σ_{i=0..+oo} x^i) - (Σ_{i=1. ... [/quote]
又想到一些東西。

10/1 = (9 + 1)/1
10 = (9 + 1)/1
10 = 9 + 1/1
10 = 9 + (0.1) 10/1
10 = 9 + (0.1) (9 + 1)/1
10 = 9 + (0.1) (9 + 1/1)
10 = 9 + (0.1) (9 + (0.1) 10/1)
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 10/1
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 (9 + 1)/1
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 (9 + 1/1)
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 (9 + (0.1) 10/1)
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 9 + (0.1)^3 10/1
...
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 9 + (0.1)^3 9 + ...
10 = 9(1 + (0.1) + (0.1)^2 + (0.1)^3 + ...)
10 = 9((0.1)^0 + (0.1)^1 + (0.1)^2 + (0.1)^3 + ...)
10 = 9 (Σ_{i=0..+oo} (0.1)^i)
10/9 = (Σ_{i=0..+oo} (1/10)^i)
10/(10 - 1) = (Σ_{i=0..+oo} (1/10)^i)
1/(1 - 1/10) = Σ_{i=0..+oo} (1/10)^i

那麼
Σ_{i=0..+oo} x^i
的計算,由 1/x 開始作類似算法,也應該計得出。

xianrenb 2021-1-4 10:40 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-3 12:04 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529802640&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

又想到一些東西。

10/1 = (9 + 1)/1
10 = (9 + 1)/1
10 = 9 + 1/1
10 = 9 + (0.1) 10/1
10 = 9 + (0.1) (9 + 1)/1
10 = 9 + (0.1) (9 + 1/1)
10 = 9 + (0.1) (9 + (0.1) 10/1)
10 = 9 + (0.1) 9 + (0.1)^2 10/1
... [/quote]
計了這個出來:
[url=https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359]https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359[/url]

xianrenb 2021-1-5 01:05 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-4 10:40 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529844781&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

計了這個出來:
https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359 [/quote]
真失敗,個 gist 標題用錯了字詞。
修改成 rev. 2 :
[url=https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359]https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359[/url]

xianrenb 2021-1-5 01:46 PM

[quote]原帖由 [i]快閃黨1號[/i] 於 2021-1-2 10:11 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529759845&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

都幾有趣,
可能由tan都屈到出黎 [/quote]
剛看了:
[url=https://www.wolframalpha.com/input/?i=Tan%5Bx%5D]https://www.wolframalpha.com/input/?i=Tan%5Bx%5D[/url]
發現了:
tan(x) = sin(2 x)/(1 + cos(2 x))

那麼
tan(π/2) = sin(π)/(1 + cos(π))
tan(π/2) = +0/(1 - 1) ...(1)
tan(π/2) = -0/(1 - 1) ...(2)

[url=https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359]https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359[/url]
的計算的話
Σ_{i=0..+oo} a r^i = a/(1 - r) ...(3)
(1) & (3):
tan(π/2) = Σ_{i=0..+oo} (+0) 1^i = (+0) (1 + 1 + 1 + ...)
(2) & (3):
tan(π/2) = Σ_{i=0..+oo} (-0) 1^i = (-0) (1 + 1 + 1 + ...)
tan(π/2) = - (+0) (1 + 1 + 1 + ...)
tan(π/2) = -tan(π/2)
+oo = -oo

p.s.
順便修改了 gist 成 rev. 3 。
因為其實即使 a = 0 ,計算也一樣。

[[i] 本帖最後由 xianrenb 於 2021-1-5 02:03 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2021-1-5 02:09 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2021-1-5 01:46 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529899008&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

剛看了:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Tan%5Bx%5D
發現了:
tan(x) = sin(2 x)/(1 + cos(2 x))

那麼
tan(π/2) = sin(π)/(1 + cos(π))
tan(π/2) = +0/(1 - 1) ...(1)
tan(π/2) = -0/(1 - 1) ...(2)

https://gist.github.com/xianrenb/e83fdc7b2e72c2691bf032050372a359 [/quote]
真是發神經,其實簡單 d 都得:

tan(x) = sin(2 x)/(1 + cos(2 x))

那麼
tan(π/2) = sin(π)/(1 + cos(π))
tan(π/2) = +0/(1 - 1) ...(1)
tan(π/2) = -0/(1 - 1) ...(2)

(1) & (2):
tan(π/2) = -tan(π/2)
+oo = -oo

Porky_Pig 2021-1-5 08:49 PM

[quote]原帖由 [i]快閃黨1號[/i] 於 2021-1-2 06:41 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=529756623&ptid=29636379][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
有次讀到Ramanujan Summation
就自己試吓, 結果就整咗呢個出黎
11967744
雖然無可能, 但都幾好玩,
應該無人咁做過,
有的話請告之 [/quote]
無限世界是很麻煩,當然亦很好玩。
這只是countable infinity,先玩一個
♾️+1= ♾️
♾️+1= ♾️+0
所以1=0

(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
當我們把括弧都拿走,再把所有的+1集合在一起,把所有的-1集合在一起。
所有的+1加起來是♾️,所有的-1加起來是-♾️,我們於是有♾️-♾️。

♾️=♾️+1
於是
♾️-♾️=1

實際上♾️-♾️不單可以是1,亦可以等於任何整數或實數,只要我們用♾️=♾️+x開始便可以。這是說,這種玩法,可以玩出任何數字的答案。其實,連♾️亦可以是答案。

無限大的論證其中一個要注意的是「對應」。其實,上面的(1-1)+(1-1)+(1-1)+...的拆括弧和重新集合是「非法的」,因為這拿走了「對應」。當♾️-♾️的兩個♾️是對應時,答案是0,但當我們在不知不覺間拿走了對應,兩個隨意的♾️(countable infinity)相減,規則便變了。

以convergence/divergence來解釋,當然是三言兩語便抽象地說了,但有時候用更基本的思考方法來解釋,也許能看到更多的東西。

快閃黨1號 2021-1-5 10:45 PM

一次過回覆晒.......


雖然好玩, 但不要走火入魔啊


加上taylor series都會仲好玩, 
不過要等我有時間先睇睇:smile_13:
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