查看完整版本 : 點樣證明 e 係無理數？

突然對以前中七啲數學有翻少少興趣！唔該晒！

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-14 01:23 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546528365&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
突然對以前中七啲數學有翻少少興趣！唔該晒！ [/quote]
Matric水平不會要求去證明e是無理數。但若中七數學水平足夠，應該可以看明白人家的證明。
網上有不少不同證明的方法，找一下便可以。
簡單來說，證明是無理數，方法是：不可能是有理數，這自然是用contradiction。
最簡單的方法，若e=p/q，p，q是整數，用e的方程式，假設能找到整數p，q，然後來個contradiction⋯⋯。
試試看，是否寶刀未老！
順帶一提，三月十四日是π day，想證明e是無理數，也真有趣！

[attach]13132233[/attach]

[[i] 本帖最後由 111x111=12321 於 2022-3-14 10:33 PM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]Porky_Pig[/i] 於 2022-3-14 10:16 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546547242&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Matric水平不會要求去證明e是無理數。但若中七數學水平足夠，應該可以看明白人家的證明。
網上有不少不同證明的方法，找一下便可以。
簡單來說，證明是無理數，方法是：不可能是有理數，這自然是用contradiction。
最簡單的方法，若e=p/q，p，q是整數，用e的方程式，假設能找到整數p，q，然後來個contradiction⋯⋯。
試試看，是否寶刀未老！
順帶一提，三月十四日 ... [/quote]
係喎，有反證法呢樣嘢，你唔提我真係唔記得！讀書時啲嘢真係畀翻晒阿蛇…. 等我試玩吓先！
[img]https://media.tenor.com/images/1c58cc5d1bdc88cc615fc5cb4358eae5/tenor.gif[/img]

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-15 12:44 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546550949&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

係喎，有反證法呢樣嘢，你唔提我真係唔記得！讀書時啲嘢真係畀翻晒阿蛇…. 等我試玩吓先！
https://media.tenor.com/images/1c58cc5d1bdc88cc615fc5cb4358eae5/tenor.gif [/quote]
12:44 AM 遲左

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-15 05:13 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546553943&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

12:44 AM 遲左 [/quote]
歐洲同北美嘅朋友，你哋好！「白色情人節」及「批節」快樂！:smile_15:
[attach]13132703[/attach]

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-15 05:20 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546553985&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

歐洲同北美嘅朋友，你哋好！「白色情人節」及「批節」快樂！:smile_15:
13132703 [/quote]
(你引我帖)
我是香港的呀! :P


如果你話你來自歐美, 這GAG才成立丫

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-15 05:25 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546554021&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

(你引我帖)
我是香港的呀! :P


如果你話你來自歐美, 這GAG才成立丫 [/quote]
嗱！我真係來自北美，不過我人在香港。
[attach]13132705[/attach]

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-15 05:27 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546554037&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

嗱！我真係來自北美，不過我人在香港。
13132705 [/quote]
嗯~  
這是additional information, thank you.

不過與上面邏輯沒有關係.

[quote]原帖由 [i]Porky_Pig[/i] 於 2022-3-14 10:16 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546547242&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Matric水平不會要求去證明e是無理數。但若中七數學水平足夠，應該可以看明白人家的證明。
網上有不少不同證明的方法，找一下便可以。
簡單來說，證明是無理數，方法是：不可能是有理數，這自然是用contradiction。
最簡單的方法，若e=p/q，p，q是整數，用e的方程式，假設能找到整數p，q，然後來個contradiction⋯⋯。
試試看，是否寶刀未老！
順帶一提，三月十四日 ... [/quote]
試過了！大至上係假設一個正整數內含 e，將 e=a/b 代入，演算後得出該數係少於1，所以得出反證結果！有趣！


其實有冇方法係唔使用到 exponential formula 而同樣可以證明到？謝謝你！

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-15 09:35 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546558059&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

試過了！大至上係假設一個正整數內含 e，將 e=a/b 代入，演算後得出該數係少於1，所以得出反證結果！有趣！


其實有冇方法係唔使用到 exponential formula 而同樣可以證明到？謝謝你！ [/quote]
如果不是沒可能的話, 相信會很困難很困難,
因為沒有調動出e的特徵性.

有沒有可能, 是另一個有趣的題目.

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-15 12:14 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546563153&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

如果不是沒可能的話, 相信會很困難很困難,
因為沒有調動出e的特徵性.

有沒有可能, 是另一個有趣的題目. [/quote]
或者用積分的特性可以嗎？由 0到1，再設定不等式，用同樣方法去反證其有理數特性？
∫(ex)dx

因為中七做過一啲同樣方法，不過係用於計算一啲 limit，而非呢類數理特質問題！[taguid=515344]Porky_Pig[/taguid]

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-16 12:58 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546590533&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

或者用積分的特性可以嗎？由 0到1，再設定不等式，用同樣方法去反證其有理數特性？
∫(ex)dx

因為中七做過一啲同樣方法，不過係用於計算一啲 limit，而非呢類數理特質問題！[taguid=515344]Porky_Pig[/taguid] [/quote]
不知道.

積分是一個.... 算具體指明範圍清晰的方向,
但範圍仍然太大, 換言之空泛.
所以我不知道.

積分/微積分固然有其特徵性格、特色,
但粗看不直接是e的特徵性格、特色.

仍然要有聰明人, 從發掘兩者共性著手.

以我理解, 或綜合感覺,
e 是與自身複變量有關的一個固定比例, 宇宙常數/數學常數.
(π 是圓周與半徑固定比例, 數學常數)

我們的宇宙條件, 理論上不是必然的, 如em-force, 在g-force, 強作用力之間, 某比例,
那麼我們宇宙的「幾何」, 是這宇宙所見必然而已, 其他宇宙不一定, 所以也是宇宙常數.

自身複變量, 即是exponential formula.

[color=White].[/color]  ~ ~ ~

積分, 是類似自身複變量結構嗎?
或者, 積分一眾公式、定律, 有自身複變量痕跡嗎?
E.g. 暗地將exponent轉化成另一形式exponent, 或化掉, (下一步 or RHS 沒有/或由無而出現 exponent)
(這不脫"exponential formula", 不表面化、或另一形式而已.)[COLOR=WHITE]

[[i] 本帖最後由 111x111=12321 於 2022-3-16 01:27 AM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-16 01:25 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546590937&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
以我理解, 或綜合感覺,
e 是與自身複變量有關的一個固定比例, 宇宙常數/數學常數.
(π 是圓周與半徑固定比例, 數學常數)

我們的宇宙條件, 理論上不是必然的, 如em-force, 在g-force, 強作用力之間, 某比例,
那麼我們宇宙的「幾何」, 是這宇宙所見必然而已, 其他宇宙不一定, 所以也是宇宙常數.

自身複變量, 即是exponential formula ... [/quote]
冇錯，就算係 Complex exponential，都係涉及 exponential formula！所以不作考慮。
[attach]13134990[/attach]

// 點樣證明 e 係無理數？  

三句, 直觀"證明" [img]https://www.discuss.com.hk/images/smilies/default2/handshake.gif[/img]  
因為是直觀語言, 不是公設集合語言, 故非數學嚴謹證明.
三句, 亞里士多德三段論呢~

[olist][*]有理數是P/Q, 即有比例.[*]由於 e 是與自身複變量有關的一個固定比例, 且複, 是指.....無限複 ![*]推得 : e 的比例, P、Q 當中必然涉及無限的性質, E.g. 無限位數整數!   與PQ原要求不符![/olist]
證畢. [img]https://www.discuss.com.hk/images/smilies/default2/smile_35.gif[/img]

照版煮碗,
π 的直觀無理證明
[olist][*]π 是圓周與直徑固定比例[*]圓周曲線, 與直徑比例,「可用」無限分割迫近[*]又見「無限」, Thank you~[/olist]


這次比上次缺憾大. :smile_13:
可用, 咁另一人唔用, 而又找出有理比例呢、排除了沒有?
迫近, 未等於就是.
數學分析微分數學, 處理了連續涵數的極限值, 迫近=就是,
直觀語言未有這資產, 便跳了步驟.[COLOR=WHITE]

[[i] 本帖最後由 111x111=12321 於 2022-3-16 02:44 AM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-16 01:41 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546591213&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
// 點樣證明 e 係無理數？  

三句, 直觀"證明" https://www.discuss.com.hk/images/smilies/default2/handshake.gif  
因為是直觀語言, 不是公設集合語言, 故非數學嚴謹證明.
三句, 亞里士多德三段論呢~

[olist][*]有理數是P/Q, 即有比例.[*]由於 e 是與自身複變量有關的一個固定比例, 且複 ... [/quote]
哈哈，唔知數學 medal prize 可唔可以就咁用口噏就攞到奬？所以我普通人都係想知道典樣用紙筆墨及唔抽象嘅方法去證明！:lol

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-16 02:02 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546591493&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

哈哈，唔知數學 medal prize 可唔可以就咁用口噏就攞到奬？所以我普通人都係想知道典樣用紙筆墨及唔抽象嘅方法去證明！:lol [/quote]
"唔抽象"!
數學是抽象的.

嗯~
你是數學叛徒, 如何能頒獎給您呢! :smile_35:[COLOR=WHITE]

[[i] 本帖最後由 111x111=12321 於 2022-3-16 02:10 AM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]f1kon[/i] 於 2022-3-16 02:02 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546591493&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

哈哈，唔知數學 medal prize 可唔可以就咁用口噏就攞到奬？所以我普通人都係想知道典樣用紙筆墨及唔抽象嘅方法去證明！:lol [/quote]
其實, 原則上與用口噏無關.
除非有這行政要求, 否則並不排除這事.

E.g. Nobel prize 只頒給活人, 是行政要求.

[quote]原帖由 [i]111x111=12321[/i] 於 2022-3-16 02:07 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546591546&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

唔抽象!
數學是抽象的.

嗯~
你是數學叛徒, 如何能頒獎給您呢! :smile_35: [/quote]
哈哈，咁我已逃跑接近三十年了！我嘅數學只停留於 F7 水平，而對中七學生嚟講數學是不抽象的！


晚了，過後再說！:smile_15:

數學上, 就咁用口噏、與 用紙筆墨及抽象唔抽象嘅方法
是等價的.

您一定知道吧~ :handshake

[quote]原帖由 [i]Porky_Pig[/i] 於 2022-3-14 10:16 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546547242&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Matric水平不會要求去證明e是無理數。但若中七數學水平足夠，應該可以看明白人家的證明。
網上有不少不同證明的方法，找一下便可以。
簡單來說，證明是無理數，方法是：不可能是有理數，這自然是用contradiction。
最簡單的方法，若e=p/q，p，q是整數，用e的方程式，假設能找到整數p，q，然後來個contradiction⋯⋯。
試試看，是否寶刀未老！
順帶一提，三月十四日 ... [/quote]
記得AL Pure Maths 老師係無教過點去prove e 和 pi 是無理數.
但在一些考試題目裡巳 step by step 要求去prove e 和pi 是無理數.
突別印象深刻是一條prove pi 是無理數的題目. 做完你係知道點prove. 記得係利用一個函數的積分去prove的. 但想不通是原作者怎樣想到用這function 去prove.
至於怎樣去prove pi 和 e 是無理數, 好多微積分和數學分析的書都會有.
網絡上都很容易找到.

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2022-3-17 09:54 PM 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2022-3-17 09:41 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=546660926&ptid=30472399][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

記得AL Pure Maths 老師係無教過點去prove e 和 pi 是無理數.
但在一些考試題目裡巳 step by step 要求去prove e 和pi 是無理數.
突別印象深刻是一條prove pi 是無理數的題目. 做完你係知道點prove. 記得係利用一個函數的積分去prove的. 但想不通是原作者怎樣想到用這function 去prove.
至於怎樣去prove pi ... [/quote]
考試範圍內的確係冇特定一個環節去分析數理，但係當年阿sir係有一兩堂教乜嘢叫有理無理數、複數及實數等。而反證法亦有提，有冇教用嚟證明數理就真係冇印象！我都係有印象 past paper 有過用積分去證明 e 係無理數，不過當然唔記得係邊一年囉！:lol

試題最中意開個話題,
先叫人證 Part I   (較容易)
然後再叫人用以上或不用以上 (名句 [color=DarkRed]hence or otherwise[/color]) 證明 Part II . [img]https://www.discuss.com.hk/images/smilies/default2/smile_35.gif[/img]

個[color=DarkRed]話題[/color], 其實係高兩年班的課程內容.

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