查看完整版本 : 點的面積

想請教在 2D co-ordinates system 中的一點,  它的面積到底是 0 還是無限小?

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[quote]原帖由 [i]verylovediscuss[/i] 於 2022-7-9 20:58 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550130499&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教在 2D co-ordinates system 中的一點,  它的面積到底是 0 還是無限小? [/quote]
是零。
以下呢個講法睇下可唔可以接受：
「有限個零相加等於零，但無窮多個零相加就不能說是零了」
[url]https://blog.udn.com/a89362972/8051736?f_UA=pc[/url]

謝謝回覆. 我明白了. 一點的面積的確是零!
我的理解是這樣:
如果在一點的周圍點有限數量的點, 那點與點之間必定存在無數空隙, 所以並不能形成一塊面積 [0+0+...+0 = 0]
然而如果在一點的周圍點無限數量的點, 那就能夠形成一塊連續的面, 產生面積 [0+0+... = 未定義]

[quote]原帖由 [i]verylovediscuss[/i] 於 2022-7-13 11:20 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550240882&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝回覆. 我明白了. 一點的面積的確是零!
我的理解是這樣:
如果在一點的周圍點有限數量的點, 那點與點之間必定存在無數空隙, 所以並不能形成一塊面積 [0+0+...+0 = 0]
然而如果在一點的周圍點無限數量的點, 那就能夠形成一塊連續的面, 產生面積 [0+0+... = 未定義] [/quote]
正確嚟講，形成面績嗰啲唔係點，係infinitesimal，將一個圖形切開成無限多嘅infinitesimal，然後將佢哋加起嚟就搵到面積，呢個就係微積分

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-21 07:23 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550474980&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

正確嚟講，形成面績嗰啲唔係點，係infinitesimal，將一個圖形切開成無限多嘅infinitesimal，然後將佢哋加起嚟就搵到面積，呢個就係微積分 [/quote]
要先定義"一點"是什麼意思.
長度（一維空間）, 面積(二維空間), 體積（三維空間）

如果這一點係指示是長度, 是一維空間, 不會有面積的.
如果這一點只係指示位置或座標, 一維空間也不是, 不會有面積的. 也不會有長度的.

長度都可以有微積分的.  面積都可以有微積分的.  體積都可以有微積分的

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-21 15:35 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550488728&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

要先定義"一點"是什麼意思.
長度（一維空間）, 面積(二維空間), 體積（三維空間）

如果這一點係指示是長度, 是一維空間, 不會有面積的.
如果這一點只係指示位置或座標, 一維空間也不是, 不會有面積的. 也不會有長度的.

長度都可以有微積分的.  面積都可以有微積分的.  體積都可以有微積分的 [/quote]
呢度嘅infinitesimal指△x△y
面積可以係∫∫f(x,y)dxdy

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-21 17:14 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550491520&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

呢度嘅infinitesimal指△x△y
面積可以係∫∫f(x,y)dxdy [/quote]
[url]https://mathinsight.org/double_integral_area[/url]
如果你寫埋 f(x,y) 咁果個double integral的意義已經係volume, 因為個integrating base已經係 2-dimensional.

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-21 19:45 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550495805&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

https://mathinsight.org/double_integral_area
如果你寫埋 f(x,y) 咁果個double integral的意義已經係volume, 因為個integrating base已經係 2-dimensional. [/quote]
Yes, f(x,y)應該要等如1先係Area

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-21 20:18 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550496669&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Yes, f(x,y)應該要等如1先係Area [/quote]
無錯~
呢個諗法亦可以想像為一個same height = 1 的柱體的volume 就等於佢既 cross-sectional area.

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-21 17:14 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550491520&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

呢度嘅infinitesimal指△x△y
面積可以係∫∫f(x,y)dxdy [/quote]
面積是△x△y, 長度是△x
但也要首先定義"點"是否X.

如果"點"不是x, 如何有△x?

如果"點"是X, 有長度, 有△x.
但"點"沒有y.

如果"點"是面積, 即係XY, 有長度, 有△x△y

或者用時鐘來做例子
長短針都指住12, 係12:00, 還是0秒?
咁要先定義或意思.

[[i] 本帖最後由 zzzxxx111 於 2022-7-22 09:22 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-21 22:17 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550500259&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

無錯~
呢個諗法亦可以想像為一個same height = 1 的柱體的volume 就等於佢既 cross-sectional area. [/quote]
要想像一個柱體, 係有無限個cross-sectional area.  
same height = 1, 只係一個表示高度的方法.  係表示3維空間, xyz, 其中一組數字是1.  但並不是area.

1m(米)，1m^2(平方米),  1m^3(立方米),  其實係三種唔同概念.

你既諗法"想像為一個same height = 1 的柱體的volume 就等於佢既 cross-sectional area."
只係"計算"方法既諗法.

例如:
7x5 是否等於 5x7.
"計算"方法可以係一樣, 但概念(或意思)未必一樣.

[[i] 本帖最後由 zzzxxx111 於 2022-7-22 09:40 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 09:15 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550508721&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

面積是△x△y, 長度是△x
但也要首先定義"點"是否X.

如果"點"不是x, 如何有△x?

如果"點"是X, 有長度, 有△x.
但"點"沒有y.

如果"點"是面積, 即係XY, 有長度, 有△x△y

或者用時鐘來做例子
長短針都指住12, 係12:00, 還是0秒?
咁要先定義或意思. ... [/quote]
不是點，是infinitesimal
點是0的意思
infinitesimal是tends to 0的意思

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-21 19:45 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550495805&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

https://mathinsight.org/double_integral_area
如果你寫埋 f(x,y) 咁果個double integral的意義已經係volume, 因為個integrating base已經係 2-dimensional. [/quote]
其實你條link有唔少定義或假定的, 不要忽略.

(1)
calculate the area under a curve f(x) over some interval [a,b]by integrating f(x) over that interval.
係有curve、a、b.
然後, 用微積分數式去表示area.

(2)
If we let A be the area of the region D, 用微積分數式去表示volume.
其實已假定A. 只不過這個A, 用function表示, 或用上面(1)的微積分數式.

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-22 09:44 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550509521&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

不是點，是infinitesimal
點是0的意思
infinitesimal是tends to 0的意思 [/quote]
面積係指"無限個"的tend to 0的乜乜乜.

如果用在面積上, "乜乜乜"係指XY(2維空間),

而X, Y可以用分別用一維空間表示.
如果Y=0, 意思係冇面積.

其實一直都無解釋過"點"是乜.  點是0還是tend to 0?

[[i] 本帖最後由 zzzxxx111 於 2022-7-22 10:08 編輯 [/i]]

在 2D co-ordinates system,
一點應指(x,y). 係位置,  不存在長度、面積.
長度係指兩點之間, 由A點(x1,y1)去B(x2,y2).  但不存在面積. 因為有兩點, 可以連線, 可以用f(x)表示, 再由A去B. 
面積係指三點之間.

"點的面積", 其實問得唔好.

如想問"一點", 其實係不存在面積. 可以當係0.  不算infinitesimal.
如果係"點的面積"指三點只係咁啱在同一位置. 這便存在面積. 但面積係0.
可以當係0.  也可當infinitesimal.

0可以有幾個意思.

(A)有不存在的意思.
(例子: 你有一堆蘋果, 有人問你有幾多個橙?  係不存在)

(B)可以說係水平是0既意思.
(例子: 你曾有5個橙, 食左5個, 你仍有幾多個橙?  曾經存在, 但現水平係零個)

(C) infinitesimal, 想用數字表達, 係用0.

如果有好多好多個"零"相加, 情況(A),(B)都會係零. 但情況(C)就不一定係零了.

如果有好多好多個"不存在"相加, 就必定係"不存在"了.
如果有好多好多個"水平零"相加, 就必定係"水平零"了.
但情況(C)係說
如果有好多好多個"infinitesimal"相加, 就不一定係"infinitesimal"了. 不一定係0了

現討論樓主主題.
"點的面積", 其實真係先定義"點".  才知是"不存在", "水平零", 還是"infinitesimal".
anyway, 都可用"0"表示. 
"不存在", "水平零", 還是"infinitesimal", 都可用"0"表示.

點的面積=0, 唔算錯.
但點的面積=infinitesimal? 咁就不一定了.
要先定義"點", 係唔係指三點都是在同一點既位置上?

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 09:59 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550509978&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

面積係指"無限個"的tend to 0的乜乜乜.

如果用在面積上, "乜乜乜"係指XY(2維空間),

而X, Y可以用分別用一維空間表示.
如果Y=0, 意思係冇面積.

其實一直都無解釋過"點"是乜.  點是0還是tend to 0? [/quote]
我覺得點是0
△x和△y都是infinitesimal(something tends to 0)

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 11:20 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550512068&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
0可以有幾個意思.

(A)有不存在的意思.
(例子: 你有一堆蘋果, 有人問你有幾多個橙?  係不存在)

(B)可以說係水平是0既意思.
(例子: 你曾有5個橙, 食左5個, 你仍有幾多個橙?  曾經存在, 但現水平係零個)

(C) infinitesimal, 想用數字表達, 係用0.

如果有好多好多個"零"相加, 情況(A),(B)都會係零. 但情況(C)就不一定係 ... [/quote]
infinitesimal係等如
lim △x→0 (△x)
如果你話佢係0，只不過係將佢evaluate出嚟
實際上你可以按δ-ε定義去理解

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-22 12:08 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550513462&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

我覺得點是0
△x和△y都是infinitesimal(something tends to 0) [/quote]
0可以有幾個意思、
infinitesimal係tends to 0(數學上寫０)、
△x係指兩個Ｘ(x1 and x2) 之間、
△y係指兩個Y (y1 and y2) 之間、
面積係二維空間, 要有△x and △y。

樓主的"點"的定義?
如果在2D co-ordinates system, 係指一點在座標, 還是三點都在同一點上?
要先定義.
如果係指三點都在同一點, △x=0, △y=0, 面積=0. (可以說係水平0, 也可說infinitesimal極細接近零)
如果係指的是座標, △x=0 (不存在), △y=0 (不存在), 面積=0. (不存在) (係0, 但指不存在, 不是infinitesimal極細接近零)

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-22 12:20 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550513749&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

infinitesimal係等如
lim △x→0 (△x)
如果你話佢係0，只不過係將佢evaluate出嚟
實際上你可以按δ-ε定義去理解 [/quote]
lim △x 其實可以計到唔同答案的.
infinitesimal係等如→0  (沒有lim △x )

lim △x ,  係要你另行定義.
lim △x→0, 已經有兩點(可以係同一點)既存在.  

只係你或會計到→0

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 09:27 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550509049&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

要想像一個柱體, 係有無限個cross-sectional area.  
same height = 1, 只係一個表示高度的方法.  係表示3維空間, xyz, 其中一組數字是1.  但並不是area.

1m(米)，1m^2(平方米),  1m^3(立方米),  其實係三種唔同概念.

你既諗法"想像為一個same height = 1 的柱體的volume 就等於佢既 cr ... [/quote]
你似乎誤會咗我的回應。
f(x,y) = 1
我並非指內容，而是我回應的「意義」。

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-22 12:52 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550514525&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

你似乎誤會咗我的回應。
f(x,y) = 1
我並非指內容，而是我回應的「意義」。 [/quote]
或者我誤會你的回應.
我只想說length, area, Volumn係三個不同單位.

f(x,y) = 1, 我估你意思是z=1. same height.
在同一高度, 可以有無限個cross-section area, 但volumn=0.

可說是"tend to 0"高度的無限個area相加.
或者"高度相差係0"的無限個area相加.

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 15:14 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550518098&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

或者我誤會你的回應.
我只想說length, area, Volumn係三個不同單位.

f(x,y) = 1, 我估你意思是z=1. same height.
在同一高度, 可以有無限個cross-section area, 但volumn=0.

可說是"tend to 0"高度的無限個area相加.
或者"高度相差係0"的無限個area相加. ... [/quote]
嗯, 你誤會了我的回應。
我只是回應之前會員指出 Area = ∬ f(x,y) dA 之處。

我只是告訴他, (中學) Area = ∫ f(x) dx = ∫ y dx.
現在 Volume = ∬ f(x,y) dA = ∬ z dx dy
若他想把 double integral 看成是 area, 那可以考慮 f(x,y) = 1, 那該柱體的體積(數值)則可等同該柱體橫切面的面積。

Generally speaking, my point is that I do not want him/her to think that ∬ f(x,y) dxdy refers to an area.

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-22 15:30 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550518509&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

嗯, 你誤會了我的回應。
我只是回應之前會員指出 Area = ∬ f(x,y) dA 之處。

我只是告訴他, (中學) Area = ∫ f(x) dx = ∫ y dx.
現在 Volume = ∬ f(x,y) dA = ∬ z dx dy
若他想把 double integral 看成是 area, 那可以考慮 f(x,y) = 1, 那該柱體的體積(數值)則可等同該柱體橫 ... [/quote]
Area = ∫ f(x) dx = ∫ y dx.
Volume = ∬ f(x,y) dA = ∬ z dx dy

我差啲唔記得左有assumption,,  
用於2D/3D co-ordinates system,  x由零開始,  y由零開始, z由零開始(最易忽略z由零開始)
程式即係由(0,0,0)這位置開始,  (除非另有標明)

area = ∬ 1 dx dy  係一個special cases.
它是柱體, 高度=1.
每一個△A (area) 是 same height=1.

[quote]原帖由 [i]zzzxxx111[/i] 於 2022-7-22 17:09 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550521063&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Area = ∫ f(x) dx = ∫ y dx.
Volume = ∬ f(x,y) dA = ∬ z dx dy

我差啲唔記得左有assumption,,  
用於2D/3D co-ordinates system,  x由零開始,  y由零開始, z由零開始(最易忽略z由零開始)
程式即係由(0,0,0)這位置開始,  (除非另有標明)

area = ∬ 1 dx d ... [/quote]
係, 我就係想同前面會員講呢樣野。
同埋香討好似打唔到subscript:
[url]https://mathinsight.org/double_integral_volume[/url]

[quote]原帖由 [i]top11[/i] 於 2022-7-22 15:30 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550518509&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

嗯, 你誤會了我的回應。
我只是回應之前會員指出 Area = ∬ f(x,y) dA 之處。

我只是告訴他, (中學) Area = ∫ f(x) dx = ∫ y dx.
現在 Volume = ∬ f(x,y) dA = ∬ z dx dy
若他想把 double integral 看成是 area, 那可以考慮 f(x,y) = 1, 那該柱體的體積(數值)則可等同該柱體橫 ... [/quote]
同意啊，I said yes
用∫∫可以對應一個infinitesimal point嘅面積(等如體積除1)

謝謝大家的回覆.
其實我問這個問題的目的, 是希望確定無限個 0 相加是不是都是等於 0. [0+0+... = 0 ???]
因為如果是無限個無限小相加大於 0, 這我可以理解, [Let x = 無限小, x+x+... > 0]. 因為 x 並不是 0, 是有"一點東西"的, 所以相加大於 0 是可以理解的.
然而無限個 0 相加不等於 0, 就十分難理解. 原本什麼也沒有, 什麼也沒有加什麼也沒有, 就算加幾多次, 就算永遠地加落去, 應該都是什麼也沒有的. 所以我是偏向認為 0+0+... = 0 的.

[quote]原帖由 [i]verylovediscuss[/i] 於 2022-7-23 18:48 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550551058&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝大家的回覆.
其實我問這個問題的目的, 是希望確定無限個 0 相加是不是都是等於 0. [0+0+... = 0 ???]
因為如果是無限個無限小相加大於 0, 這我可以理解, [Let x = 無限小, x+x+... > 0]. 因為 x 並不是 0, 是有"一點東西"的, 所以相加大於 0 是可以理解的.
然而無限個 0 相加不等於 0, 就十分難理解. 原本什麼也沒有, 什麼也沒 ... [/quote]
係，無限個0相加就係0

[quote]原帖由 [i]色小緣[/i] 於 2022-7-23 20:11 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=550553343&ptid=30659672][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

係，無限個0相加就係0 [/quote]
那麼您認為這是公理，還是可證明的？