查看完整版本 : 為什麼非整數分數有同一質數分母,轉循環小數時,小數循環體個數總是一樣?

例如:
1/13=0.076923076... ,循環體是076923,有6個數位,
2/13=0.153846153...,循環體是153846,也有6個數位,
這個規律怎樣解釋?
謝謝

[[i] 本帖最後由 ic310 於 2022-10-17 09:36 編輯 [/i]]

*** 該帖被屏蔽 ***

[quote]原帖由 [i]ic310[/i] 於 2022-10-16 12:01 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=552934473&ptid=30815595][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
例如:
1/13=0.076923076... ,循環體是076923,有6個數位,
2/13=0.153846153...,循環體是153846,也有6個數位,
這個規律怎樣解釋?
謝謝 [/quote]
1/17=
[table][tr][td=1,1,266]0.0588235294117647   [/td][/tr][/table]


冇你所謂「6個數位循環體」:smile_39:
何來「規律」？ :smile_42:

[quote]原帖由 [i]呼喚你002[/i] 於 2022-10-16 17:05 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=552943552&ptid=30815595][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

1/17=
0.0588235294117647   


冇你所謂「6個數位循環體」:smile_39:
何來「規律」？ :smile_42: [/quote]
可能我表達不清,我指同一質數分母的非整數分數(即不包括13/13),如1/13,2/13,3/13,全是6位,
又如1/7,2/7,3/7,又是6位
1/3,2/3又是1位

[[i] 本帖最後由 ic310 於 2022-10-17 09:35 編輯 [/i]]

:smile_45:

[[i] 本帖最後由 biggoldentooth 於 2022-10-18 01:11 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]ic310[/i] 於 2022-10-16 12:01 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=552934473&ptid=30815595][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
例如:
1/13=0.076923076... ,循環體是076923,有6個數位,
2/13=0.153846153...,循環體是153846,也有6個數位,
這個規律怎樣解釋?
謝謝 [/quote]
因為任何一個質數 p (2,5除外)都可以找到一個形如999...9的數整除p。
例如: 3可被9整除。7可被999999整除這。13亦可被999999整除。
証明如下:
考慮數集9,99,999,9999,....
根據帶餘除法, 總有兩個數 999..99(s個9), 999..99(t個9) (t>s) 除p的餘數相同. 這是因為pigeonhole principle
即 999..9000..0 (將以上兩數相減) (t-s個9, s個0) 整除p. 但p不被1000..0 (s個0) 整除. 所以999..99 (t-s個9)整除p.在這些數中選取t-s最小的999..9
999..99/p為1/p的循環體. 2/p, 3/p,... (p-1)/p的循環體個數位都一樣。
例如: 11被99整除. 99/11=9
所以: 1/11=0.090909...
2/11=0.181818...
3/11=0.272727..
...
10/11=0.909090...

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2022-10-27 09:47 編輯 [/i]]

其實不一定是質數, 只要分母不被2或5整除的整數，都會有這個性質。
例如: 分母是9
1/9=0.111...
2/9=0.222...
..
分母是33
1/33=3/99=0.0303...
2/33=0.0606...
...
分母是6就沒有這個性質
1/6=0.16666...
2/6=1/3=0.3333...
分母是15
1/15=0.0666...

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2022-10-27 16:33 編輯 [/i]]

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2022-10-27 00:12 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=553226919&ptid=30815595][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

因為任何一個質數 p (2,5除外)都可以找到一個形如999...9的數整除p。
例如: 3可被9整除。7可被999999整除這。13亦可被999999整除。
証明如下:
考慮數集9,99,999,9999,....
根據帶餘除法, 總有兩個數 999..99(s個9), 999..99(t個9) (t>s) 除p的餘數相同. 這是因為pigeonhole principle
即 999.. ... [/quote]
多謝解答,有d深,我再研究下

或者之前唔係講得咁清楚。再清楚一些。
假設 a/b 為一有理數，0<a<b，a與b互質且b不是2與5的倍數。
若a/b化為小數a(1)a(2)…a(n)為這小數循環體。即
a/b=0.a(1)…a(n)a(1)…a(n)…
10^n*a/b=a(1)a(2)…a(n).a(1)a(2)…a(n)…=a(1)a(2)…a(n)+0.a(1)…a(n)
=a(1)a(2)…a(n)+a/b
=>(10^n-1)*a/b=a(1)a(2)…a(n) (a(1)..a(n)為一整數且0<a(1)a(2)…a(n)<10^n-1
設d=a(1)a(2)…a(n)
=>a/b=d/(10^n-1)=d/999…9 (n-1個9)
即如果a/b可化為這樣的小數，b一定是某一個999…9的因數。
若b是不被2或5整除的數。這個999…9是一定找到的。
根據帶餘除法(remainder theorem). 若一個整數被b整除，餘數一定是
0,1,2,…(b-1).
所以如果考慮這些數9,99,999,9999,…. 根據pigeonhole theorem. 一定存在
兩個不同的999..9. 假設為999..9 (t個9)和999..9(s個9)，t>s 除 b 的餘數相同。
將這兩數相減999..9 (t個9) – 999..9(s個9)=999..900..0 (有t-s個9及s個0)
這個數可整除b。即 b*q=999..900..0=999..9*100..00。
但b不是2與5的倍數。b不會被100..00整。所以b被999..9(t-s個9)整除。
但這個999..9(t-s個9)可以多過一個。例如: 999999整除7，999999999999亦可整除7。所以可選最小的一個999..9。其循環體的長度為999..9的長度。

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2022-10-31 14:46 編輯 [/i]]

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