查看完整版本 : 用牛頓力學概念解釋流形的意義:

lightspeed2020 2024-5-31 15:31

1. 配位空間 (Configuration Space)
在牛頓力學中,我們描述一個系統的運動是通過給定其在某個參考系中的位置坐標。這個位置坐標組成了一個向量,稱為配位或位置向量。所有可能的配位向量組成了系統的配位空間。


對於一個質點在三維歐幾里得空間中的運動,其配位空間就是R^3。但如果質點被限制在一個曲面上運動(如行星繞日運動),其配位空間就不再是整個R^3,而僅是這個曲面,即一個二維流形嵌入在三維歐克空間中。


2. 廣義坐標
有時我們選擇一組不是笛卡爾坐標的廣義坐標來更方便地描述系統運動。比如行星繞日運動,可用極坐標(r,θ,φ)而不是(x,y,z)。


從數學角度看,這些廣義坐標賦予了曲面某種內在的結構,使其成為一個流形。極坐標(r,θ,φ)相當於定義了球面這個流形上的一種坐標系。


3. 約束力學
如果一個系統存在約束條件,如質點受到不可積的約束力,則其運動不是在整個配位空間中發生,而只能在配位空間的一個子集上運動。這個子集對應著滿足所有約束條件的點的集合,構成了一個流形結構。


牛頓力學研究的大多數系統,即使是最簡單,其配位空間也不僅是平凡的歐氏空間,而是需要用流形的概念.
頁: [1]
查看完整版本: 用牛頓力學概念解釋流形的意義: