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數學謎題車輪陣 (二)

[隱藏]
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-12 05:09 PM 發表


我之前計算到的是:
r = sqrt( (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) / [4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2])
分子與師兄的一樣. 分母我沒有跟師兄的比較, 希望是一樣的東西, 也希望我沒計算錯. ...
沒有計錯
4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2
=[2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)][(2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]
=[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]
=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)(2s-2d)
=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
其實 sqrt((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)) 是四邊形的面積. (Brahmagupta 公式)
d=0 就 reduce 去 Heron 公式了.



精選樓盤
引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-12 17:32 發表

沒有計錯
4(ab+cd)^2 - (a^2+b^2-c^2-d^2)^2
=[2(ab+cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)][(2(ab+cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]
=[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]
=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)
=(2s-2a)(2s-2b)(2s-2 ...
謝謝. 又跟師兄學習了~



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...

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本來, 以自己能夠計算的題目看來, 我總共可以發至第15題.
不過這裡一直也只有一人作答. 衡量過答題者的高水平, 我只發其中較"有趣"的兩題好了...

第09題


[ 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-15 01:47 PM 編輯 ]



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...
第10題


這是最後一題, 就當這是Boss題吧!
這是我唯一沒做到答案便放棄了的一題.
看了答案, 才知答案很不"漂亮", 是由數個"開方根號"組成.

[ 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-15 01:57 PM 編輯 ]



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...
[隱藏]
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-14 01:33 PM 發表

本來, 以自己能夠計算的題目看來, 我總共可以發至第15題.
不過這裡一直也只有一人作答. 衡量過答題者的高水平, 我只發其中較"有趣"的兩題好了...

第09題
若a_n為1/(4n+1)+1/(4n+3)-1/(2n+2), 其中n為非負整數.
那麼Σ_n(a_n), n由0至∞, 是甚麼? ...
Del

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-14 11:22 PM 編輯 ]



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引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-14 01:33 PM 發表

本來, 以自己能夠計算的題目看來, 我總共可以發至第15題.
不過這裡一直也只有一人作答. 衡量過答題者的高水平, 我只發其中較"有趣"的兩題好了...

第09題
若a_n為1/(4n+1)+1/(4n+3)-1/(2n+2), 其中n為非負整數.
那麼Σ_n(a_n), n由0至∞, 是甚麼? ...
請問 Σ_n 是什麼意思? 是否 sum(0->n) [n*a(n)]?

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-14 11:31 PM 編輯 ]



引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-14 01:44 PM 發表

第10題
這是最後一題, 就當這是Boss題吧!


請推出Σ_n[1/(1+5n) - 1/(4+5n)], n由0至∞, 是多少.

這是我唯一沒做到答案便放棄了的一題.
看了答案, 才知答案很不"漂亮", 是由數個"開方根號"組成. ...
第10題如果係計
summation (n=0->inf) [1/(1+5n) - 1/(4+5n)]
答案係: 1/5*pi*cot(1/5*pi)

1/5*pi*((sqrt(5)+1)/sqrt(10-2*sqrt(5))
大約 = 0.864806266
(我估無理由係計 summation (n=0->inf)[n*(1/(1+5n) - 1/(4+5n))],
因為係 divergent series)

第9題如果係計
summation (n=0->inf) [1/(4n+1)+1/(4n+3)-1/(2n+2)]
答案係 : 1/2*ln(8)

ln(2*sqrt(2))
大約 = 1.039720711

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-15 11:56 AM 編輯 ]



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引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-14 23:27 發表

請問 Σ_n 是什麼意思? 是否 sum(0->n) [n*a(n)]?
已修改了表示方式, 希望現在能被看懂.



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-15 01:59 PM 發表


已修改了表示方式, 希望現在能被看懂.
請看#67答案對否?



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[隱藏]
兩題都正確! 令人太佩服了!

[ 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-15 03:24 PM 編輯 ]



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-15 03:20 PM 發表

兩題都正確! 令人太佩服了!
第10題我覺得都正確。因為我在Excel都有計過。



引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-15 15:26 發表

第10題我覺得都正確。因為我在Excel都有計過。
XMing兄的數學水平比我高出很多個級數.
在這裡出題, 恕我獻醜了...



不斷的向前走。走累了,停下來望望四周。突然發覺原來的地方才是目的地...
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-14 01:33 PM 發表

本來, 以自己能夠計算的題目看來, 我總共可以發至第15題.
不過這裡一直也只有一人作答. 衡量過答題者的高水平, 我只發其中較"有趣"的兩題好了...

第09題
9219684 ...
9題比較易.
我係利用以下的limit去計的.
lim (n->inf) [1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n)]=r (r is Euler constant)

S(n)=(1+1/3-1/2)+(1/5+1/7-1/4)+(1/9+1/11-1/6)+...+(1/(4n+1)+1/(4n+3)-1/(2n+2))
=(1+1/3+1/5+1/7+...+1/(4n+1)+1/(4n+3))-(1/2+1/4+1/6+...+1/(2n+2))
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/(4n+2)+1/(4n+3))
-1/2(1+1/2+1/3+...+1/(2n+1))
-1/2(1+1/2+1/3+...+1/(n+1))
=(1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/(4n+2)+1/(4n+3)-ln(4n+3)+ln(4n+3))
-1/2(1+1/2+1/3+...+1/(2n+1)-ln(2n+1)+ln(2n+1))
-1/2(1+1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln(n+1)+ln(n+1))
s1(n)=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/(4n+2)+1/(4n+3)-ln(4n+3)
s2(n)=1+1/2+1/3+...+1/(2n+1)-ln(2n+1)
s3(n)=1+1/2+1/3+...+1/(n+1)-ln(n+1)
所以s(n)=s1(n)-1/2*s2(n)-1/2*s3(n)+[ln(4n+3)-1/2ln(n+1))-1/2ln(2n+1)]
lim(n->inf) s(n)
=lim (n->inf){s1(n)-1/2*s2(n)-1/2*s3(n)+1/2ln{(4n+3)^2/[(n+1)(2n+1]}}
=lim(n->inf) {r-r/2-r/2+1/2ln{(4n+3)^2/[(n+1)(2n+1)]}}
=1/2ln(8)
=ln(2*sqrt(2))


[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-15 05:15 PM 編輯 ]



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第10題我係利用以下兩個結果去做。

(1) lim (n->inf) sum [n=1 to infinity]{1/(n^2-a^2)} = 1/(2a)*{1/a-pi*cot(a*pi)}
(1) 的結果要利用infinite product推出來. 或者用complex analysis 的方法.

(2) cos(1/5*pi) = 1/4*(1+sqrt(5)), sin(1/5*pi)=1/4*sqrt(10-2*sqrt(5))

(1-1/4)+(1/6-1/9)+(1/11-1/14)+.....
=1-(1/4-1/6)-(1/9-1/11)-(1/14-1/16)-...
=1-(1/(5*1-1)-1/(5*1+1))-(1/(5*2-1)-1/(5*2+1))-...
=1-sum(n=1 to infinity) [1/(5n-1)-1/(5n+1)]
=1-sum(n=1 to infinity) [2/(25n^2-1)]
=1-2/25*sum(n=1 to infinity)[1/(n^2-(1/5)^2)]
利用 (1) 的 limit.
=1-2/25*{1/(2*(1/5))*[1/(1/5)-pi*cot(1/5pi)]}
=1/5*pi*cot(1/5*pi)
利用(2) 得
=1/5*pi*(sqrt(5)+1)/sqrt(10-2*sqrt5))#

https://math.stackexchange.com/questions/141470/find-the-sum-of-sum-1-k2-a2-when-0a1



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[隱藏]
引用:
原帖由 rhwlam 於 2019-1-15 03:29 PM 發表


XMing兄的數學水平比我高出很多個級數.
在這裡出題, 恕我獻醜了...
在這裡多謝了。
其實有D都幾難,個人最喜歡round 1第11題。



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