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第三次數學危機:羅素悖論

第三次數學危機:羅素悖論 E-mail 此主題給朋友

[隱藏]
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA
引用:
...羅素悖論:設有一性質P(EX:"年滿三十歲"就是一個性質),並立以一性質函數P(x),且其中的自變量x有此特性:「x∉{P(x)}」,

現假設由性質P能夠確定一個滿足性質P的集合A——也就是說「A={x|x ∉ A}」。那麼現在的問題是:A∈A是否成立?

首先,若A∈A,則A是A的元素,那麼A不具有性質P,由命題函數P可以得知A∉A;

其次,若A∉A,根據定義,A是由所有滿足性質P的類組成,也就是說,A具有性質P,所以A∈A。...
我看數學家們可能把問題想得太複雜了。

依我看,上面的 A 的描述,是等價於 A = {} ,即空的集合。

理由好簡單,“x|x ∉ A”以(程式)算法的角度看,就是從所有可能的元素答案中,搜尋一個符合條件,亦即“x”要符合“x ∉ A”。
要注意的是,這樣的描述,不一定能解䆁集合元素可能有的所有特性。
起初答案的集合會為空的集合,逐個試,成功的話才加入答案集合。
做了多番運算後,最後檢查所有元素是否符合描述。
當然算法不可能一計就計到答案。
但是,不論算法如何設計,最終必會發現,任何可能的臨時答案元素,最終都不會符合條件而不能留在答案集合。
所以,(程式)算法正確地完成後,只可能得出空的集合。

用所謂的理髮師悖論看法也很簡單,就是應該找不到符合描述的理髮師,當然他的顧客名單也肯定找不到了。



精選樓盤
引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 02:18 PM 發表

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA


我看數學家們可能把問題想得太複雜了。

依我看,上面的 A 的描述,是等價於 A = {} ,即空的集合。

理 ...
不是的.

簡單來說, 認為解不開的人(悖論立場), 去到一個point, 要決定: 關於於A的句子究竟up乜? 即, A是不是一個集合?
你, straight go to「吓~ A梗係集合啦」, 才有 : 不過係空集.



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很明顯, 維基引用了歸謬法表達.
歸謬法(Reductio ad absurdum)是一種論證方式,首先假設某命題成立,然後推理出矛盾、不符已知事實、或荒謬難以接受的結果,從而下結論說某命題不成立。

「首先假設某命題成立」, 即: A是集合.
「然後」...
.......
.......
A∉A
.....
A∈A

最後「推理出矛盾」了,
從而下結論說某命題「A是集合」不成立!

嗯~ A不是集合!
故不能說 A={}



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引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 02:18 PM 發表

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%97%E7%B4%A0%E6%82%96%E8%AE%BA


我看數學家們可能把問題想得太複雜了。

依我看,上面的 A 的描述,是等價於 A = {} ,即空的集合。

理 ...
如果 A 是空集, 即A不包括任何元素.
所以 A∉A
但是根據集合A的定義 A∈A
一樣係有矛盾.
所以 A 並非是空集.

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-10 03:53 PM 編輯 ]



[隱藏]
如果集合 X = {1, 2, 3}
符合特性 1 : ∀ x ∈ X, x < 4
符合特性 2 : ∀ x ∈ X, x < 5
可見 X 的數式描述本身,不可能完整描述所有元素可能有的特性。

A = {x|x ∉ A}

如果 S 是所有可能答案元素的集合
A = {x|(x ∈ S) and (x ∉ A)}
A = {x|(x ∈ S) and (∀ y ∈ A (x ≠ y))}

定義 S = {s1, s2, ..., s_m}
及 A = {a1, a2, ..., a_n}

A = {x|(∀ i = 1..m (∀ j = 1..n ((x_i, y_j) ∈ S×A, x_i ≠ y_j), x = x_i))}
A = {x|(∀ i = 1..n (∀ j = 1..n ((x_i, y_j) ∈ A×A, x_i ≠ y_j), x = x_i))}
A = {x|((x_i, y_j) ∈ {}, x = x_i)}
A = {}

故此,其實沒有悖論。

其實可以思考以下一個簡單近似例子。
如果 x + 1 - 1 ≠ x , x 可以是什麼?
答案是無解。
而無解仍然是正確的答案。
亦即是答案是空的集合。



引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-10 03:34 PM 發表



如果 A 是空集, 即A不包括任何元素.
所以 A∉A
但是根據集合A的定義 A∈A
一樣係有矛盾.
所以 A 並非是空集.
我看空集合的元素自然符合任何描述。
因為空集合 union 任何集合都可以等於後者,所以對於任何描述的集合,空集合應該都是其子集。
這是我的看法。



引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 04:26 PM 發表



我看空集合的元素自然符合任何描述。
因為空集合 union 任何集合都可以等於後者,所以對於任何描述的集合,空集合應該都是其子集。
這是我的看法。 ...
空集是任何集合的子集而並非空集的元素符合任何描述.
例如:
"x是單數." 是一個描述.
如果空集的元素符合任何描述, 即空集的元素符以上statement 的描述.
1是單數, 所以1∈empty set?

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-10 04:59 PM 編輯 ]



引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-10 03:34 PM 發表



如果 A 是空集, 即A不包括任何元素.
所以 A∉A
但是根據集合的定義 A∈A
一樣係有矛盾.
所以 A 並非是空集.
A∈A 並不是集合的定義之一.

集合的∈的基本, 本來是元素與集的關係 ; 而集與集的關係, 相對是⊂
A∈A, 代表了一個集作為元素的身份的述句, 先不論述句真假, 其實是否是真正的述句還是沒意義, 已進入了較高層次, 不是基本.



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引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-10 04:54 PM 發表




空集是任何集合的子集而並非空集的元素符合任何描述.
例如:
"x是單數." 是一個描述.
如果空集的元素符合任何描述, 即空集的元素符以上statement 的描述.
1是單數, 所以1∈empty set? ...
如果 X = {x|x是單數} :
X = {x|x是單數} union {}
{x|x是單數} = {x|x是單數} union {}
而右方集合內的所有元素,都能在左方集合內找到,亦即是符合“x是單數”這條件。
那麼右方第二個 term ,即 empty set 內的元素,就要符合“x是單數”這條件了。

而就算條件換成“總之無可能”, empty set 依然會符合條件!



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引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 05:07 PM 發表



如果 X = {x|x是單數} :
X = {x|x是單數} union {}
{x|x是單數} = {x|x是單數} union {}
而右方集合內的所有元素,都能在左方集合內找到,亦即是符合“x是單數”這條件。
那麼右方第二個 term ,即 empty set 內的元素,就要符合“x是單數”這條件了。

而就算條件換成&ld ...
其實你知唔知兩個集合的并是什麼意思?



引用:
原帖由 XMing 於 2019-1-10 05:16 PM 發表


其實你知唔知兩個集合的并是什麼意思?
大概知一點。
不過始終我不是修數學的,學的或者不夠嚴謹。

前面的觀點,很大程度上是依電腦化的 database 處理方式。

當中想到了 cross join (table) 。

而就算 database query condition 如何古怪,總要 return 某個 result (set) 。
也就是說,就算完全不可能的要求,都會 return empty set 。



對,元素、集合身份並存,未處理好,便隱藏陷阱。


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引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 04:17 PM 發表

如果集合 X = {1, 2, 3}
符合特性 1 : ∀ x ∈ X, x < 4
符合特性 2 : ∀ x ∈ X, x < 5
可見 X 的數式描述本身,不可能完整描述所有元素可能有的特性。

A = {x|x ∉ A}

如果 S 是所有可能答案元素的集合
A = {x|(x ∈ S) and (x &n ...
不知為何, d 資料好似變了。
或者我自己搞錯/理解錯?

但前面算法仍然有用。
問題可能是想找出究竟 A ∈ A 還是 A ∉ A 。
但是前面已算出 A = {} ,所以 A ∉ A 。
因為要用 empty set 來做唯一一個元素的新集合的話,新集合應是 {{}} ,與 {} 不同。
不過如果是這樣理解的話,對於任何集合 S ,其實 in general S ∉ S 。
用電腦程式的角度看就簡單了, array a 內的任一個 element in general 不會等於 array a 自身。



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錯誤比喻。

一般語言都不容許array element is an array itself.

Set, open to discussion.



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[隱藏]
引用:
原帖由 xianrenb 於 2019-1-10 05:42 PM 發表



大概知一點。
不過始終我不是修數學的,學的或者不夠嚴謹。

前面的觀點,很大程度上是依電腦化的 database 處理方式。

當中想到了 cross join (table) 。

而就算 database query condition 如何古怪,總要 return 某個 result (set) 。
也就是說,就算完全不可能的要求,都會 return empty se ...
cross join 並不是 union
在 SQL statment 裡是有 union 這個 keyword 的. 這個才是對應到集合裡的並

cross join 對應到集合是兩個或幾個集合的 Cartesian product 的子集 即一個 relation.
所以叫 relational database.

[ 本帖最後由 XMing 於 2019-1-10 10:57 PM 編輯 ]



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